Замкнутой поверхности

Рассмотрим произвольно выбранный объем V, ограниченный замкнутой поверхностью 5. Мощность потока электромагнитной энергии через поверхность S запишем в виде

Если заряд расположен вне объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, то поток вектора D сквозь такую поверхность равен нулю. Теорема Гаусса широко используется при расчете электрических полей,

Рассмотрим границу двух непроводящих сред, диэлектрические проницаемости которых равны EI и е2 ( 8-4). Пусть на границе этих сред имеется свободный заряд с поверхностной плотностью а. Проведем замкнутую цилиндрическую поверхность S так, чтобы одна ее половина была расположена в первом диэлектрике, другая во втором. По теореме Гаусса поток вектора электрической индукции будет равен зарядам, которые находятся внутри объема, ограниченного замкнутой поверхностью S:

При выводе теоремы Умова — Пойнтинга мы предполагали, что в объеме, ограниченном замкнутой поверхностью S, нет источников энергии. Если в объеме V такие источники имеются, причем мгновенная мощность источников равна Рист, то теорему надо записать следующим образом:

Предположим, что электромагнитное поле исследуется в определенной области пространства V, которая ограничена замкнутой поверхностью S. Параметры е, ii и у постоянны. Начальные и граничные условия заданы следующим образом. В момент t = 0 значения векторов Е и Н заданы во всех точках области V. На поверхности S известны

Другими словами, перемещению на Aq подвергаются все бесконечно малые элементы, из которых состоит рассматриваемая НМС. В частности, такому перемещению подвергаются оба объема dV и У,, на которые подразделяется НМС замкнутой поверхностью S. В процессе перемещения НМС при оговоренных выше условиях сохраняются неизменными как токи, так и магнитные потоки контуров, а также магнитное состояние в пределах любого элементарного объема среды. Существенно, что перед перемещением рассматриваемая НМС заменена ее линейной моделью (см. § 1.6), в которой функция магнитной проницаемости \i учитывает магнитное состояние НМС в ее исходном положении, но зависит только от пространственных координат.

Если заряд расположен вне объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, то поток

Гаусса поток вектора электрической индукции будет равен зарядам, которые находятся внутри объема, ограниченного замкнутой поверхностью S:

При выводе теоремы Умова — Пойнтинга мы предполагали, что в объеме, ограниченном замкнутой поверхностью ,S, нет источников энергии. Если в объеме V такие источники имеются, причем мгновенная мощность источников равна рист, то теорему надо записать следующим образом:

Предположим, что электромагнитное поле исследуется в определенной области пространства V, которая ограничена замкнутой поверхностью S. Параметры Е, [д, и у постоянны. Начальные и граничные условия заданы следующим образом. В момент / = 0 значения векторов Е и Н заданы во всех точках области V. На поверхности S известны касательные составляющие одного из векторов поля (предположим, Е) для всех моментов времени от 0 до t. Тогда уравнения Максвелла однозначно определяют векторы Е и Н в любой точке области У и в любой момент t.

То существенное обстоятельство, что результат получается не зависящим от места расположения заряженного точечного тела внутри объема, ограниченного замкнутой поверхностью s, позволяет обобщить это выражение для любого числа точечных заряженных тел, а следовательно, и для любого числа заряженных тел произвольной формы.

Первый закон Кирхгофа можно применить и к замкнутой поверхности, охватывающей часть электрической цепи. Например, для поверхности, охватывающей правую часть схемы 1.15 (показана пунктиром), алгебраическая сумма токов ветвей, пересекающих поверхность, также равна нулю. Из этой поверхности выходят только два тока /5 и /7. Поэтому по первому закону Кирхгофа

Сечением -называют систему или множество ветвей, удаление которых разбивает граф на два несвязных подграфа, каждый из которых является связным. При этом присоединение любой из удаленных ветвей должно приводить к связному графу. На 3.1,6 ветви графа, пересекающие линию k (след замкнутой поверхности), образуют сечение. Перечислим ветви, образующие некоторые из сечений: а — 1, 2, 6', в — 1, 2, 3, 5; с — /, 3, 4, 6', d — 3, 5, 6 и т. д. Разрыв указанных ветвей разделяет граф на два подграфа с числами узлов гауи и Пу' = пу—яу". При пу" = 1 подграф состоит только из одного узла; следовательно, ветви, сходящиеся к узлу, образуют сечение. Число возможных сечений может намного превысить число узлов.

При выполнении электростатического экрана в виде сплошной замкнутой поверхности емкость Спар-»0 и Э-юо. В реальных конструкциях имеются отверстия для доступа внутрь экрана, и оценить емкость С„ар можно только экспериментально. Однако если отверстия и щели в электростатическом экране соизмеримы с длиной волны электромагнитных колебаний, то через них может проникать электромагнитное поле.

Дополняя участок поверхности AS до замкнутой поверхности S, лежащей целиком внутри диэлектрика, и используя равенство (9-5), вычисляем поток вектора поляризации

Как видно непосредственно из (7-30), для замкнутой поверхности двойной интеграл в правой части равен нулю, поскольку равен нулю путь интегрирования L в левой части.

Положительная нормаль к замкнутой поверхности и вектор .dS направлены в наружную сторону. Поэтому, для того чтобы поток вектора

где dV-»-0, разделим рассматриваемую НМС с помощью замкнутой поверхности S на две части: ограниченную внутреннюю, называемую далее объемом V, и неограниченную внешнюю, называемую далее объемом VV Возьмем в качестве объема V бесконечно малый элементарный объем V = dV ( 4.18). Попытаемся найти ЭМС F = dF, действующую на объем V == dV, и ЭМС Рг, действующую на объем Vj. Обратим внимание на соогношение, связывающее между собой эти силы

Рассмотренные варианты расположения поверхности S+, охватывающей верхнюю часть сердечника, показаны на 5.26. В силу симметрии картины поля и эпюр распределения напряжений полную силу 2Fa можно определить путем удвоения силы Fy, действующей на левую половину верхней части сердечника. На 5.26, а левая половина замкнутой поверхности 5+ состоит из радиального участка 23 сечения ферромагнитного сердечника по оси паза {$; цилиндрического участка 45 (г = г4) и радиального участка 34, совпадающего с осью паза 3; цилиндрического участка 12. На 5.26, б левая половина замкнутой поверхнос/п S+ состоит из радиального участка 23 сечения ферромагнитного сердечника по оси паза а; участка 34, на котором поверхность 5+ располагается в воздухе на бесконечно малом расстоянии от сердечника, охватывая его снаружи; участка 12, на котором поверхность S+ располагается в воздухе на бесконечно-малом расстоянии от серд-дечника, охватывая его изнутри.

справедливой для линейных и нелинейных сред и являющейся основным соотношением для электрического поля. В правой части этого равенства стоит суммарный заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности, в левой — поток вектора смещения. Смещение измеряется в к/м2, напряженность электрического поля — в в/м, диэлектрическая проницаемость в ф/м.

т. е. поток, входящий внутрь замкнутой поверхности, равен потоку, выходящему из нее, поэтому линии вектора магнитной индукции всегда замкнуты, не имея ни начала, ни конца.

Вторым фундаментальным -соотношением для электростатического поля является обобщенная теорема Гаусса, связывающая смещение D с зарядом Q, находящимся внутри замкнутой поверхности S: