Установившихся составляющих

проводимостей, коэффициентов пропорциональности между комплексными амплитудами напряжения и тока означает введение закона Ома в комплексной форме для установившихся синусоидальных режимов:

Следует помнить, что в отличие от резистивных цепей функции R-, L-, С-цепей являются отношениями не самих токов и напряжений, а их комплексных амплитуд или изображений, зависящих от частоты. Вообще при анализе частотными методами важно четко разграничивать и не смешивать комплексную или частотную область, где переменными являются комплексные амплитуды, с временной областью, в которой задаются мгновенные значения напряжений и токов. Все основные расчеты проводятся в частотной области. Лишь в самом начале токи и напряжения преобразуются в соответствующие комплексные амплитуды и в самом конце расчетов производится обратный переход. Эти переходы или преобразования для установившихся синусоидальных режимов представляют очень простые операции (см. § 7.3).

Будем считать, что в линии имеет место режим установившихся синусоидальных колебаний. Поскольку закон изменения напряжений и токов во времени известен, то из дифференциальных уравнений (11.2) остается найти лишь законы изменения амплитуд и фаз напряжений и токов с расстоянием х.

Как было показано, все методы расчета линейных электрических цепей основаны на законах Ома и Кирхгофа и аналогичны для установившихся режимов постоянного и синусоидального тока и для переходных процессов. Они заключаются в составлении и решении системы алгебраических уравнений, связывающих напряжения, токи и сопротивления (проводимости) ветвей цепи, причем при постоянном токе это реальные величины U, I, R или G, при синусоидальном—символические (комплексные) изображения О, /, Z или Y, а при переходных режимах — операторные изображения U (p), I (p), Z (р) или Y (р). После решения системы уравнений для установившихся синусоидальных и для переходных процессов осуществляется переход от символических и операторных изображений искомых величин к их оригиналам — реальным мгновенным значениям напряжений и токов.

При рассмотрении установившихся синусоидальных процессов начальную фазу одной из величин можно выбрать произвольно, например начальную фазу э. д. с. или приложенного напряжения. Соответственно произвольно может быть расположен в начальный момент времени вектор, изображающий эту величину. Векторы всех остальных величин при этом будут повернуты по отношению к нему на углы, равные :двигам фаз. •• ' !

В дальнейшем будем рассматривать свойства четырехполюсников при установившихся синусоидальных процессах.

годы расчета установившихся синусоидальных процессов (§ 16-3 и 16-4).

Представление непериодической функции в виде совокупности незатухающих гармонических колебаний дает возможность исследовать переходный процесс в линейной электрической цепи, применяя к спектральной функции общие методы расчета установившихся синусоидальных процессов (см. § 16-3) и (16-4).

Как отмечалось в § 16-2, представление непериодической функции в виде суммы бесконечного множества незатухающих гармонических_ колебаний бесконечно малой амплитуды дает возможность применять к бесконечно малым гармоническим составляющим напряжений и токов обычные методы расчета установившихся синусоидальных процессов в линейных электрических цепях и затем, пользуясь методом наложения, определять результирующие йапряжения и токи.

В дальнейшем будем рассматривать свойства четырехполюсников при установившихся синусоидальных процессах.

При рассмотрении установившихся синусоидальных процессов начальную фазу одной из величин можно выбрать произвольно, например начальную фазу ЭДС или приложенного напряжения. Соответственно произвольно может быть расположен в начальный момент времени вектор, изображающий эту величину. Векторы всех остальных величин при этом будут повернуты по отношению к нему на углы, равные сдвигам фаз.

Будем считать, что в линии имеет место режим установившихся синусоидальных колебаний. Поскольку закон изменения напряжений и токов во времени известен, то из дифференциальных уравнений (11.2) остается найти лишь законы изменения амплитуд и фаз напряжений и токов с расстоянием х.

жения для установившихся составляющих токов. Комплексные уравнения установившегося режима работы трансформатора имеют вид

решений уравнений x=ax+f и x=Ax+f. Таким образом, детально разобрав все особенности построения аналитических решений уравнений состояния простейших электрических цепей, можно использовать наиболее эффективные из рассмотренных методов для решения уравнений состояния сложных электрических цепей. Запись решения уравнений состояния сложных электрических цепей х= = Ax--f имеет и определенное качественное отличие, поскольку она содержит функции от матрицы А, которые, однако, могут быть сведены к набору обычных скалярных функций. Поэтому в первых двух главах данного пособия подробно на большом числе примеров рассмотрены как методы исследования уравнений состояния простейших электрических цепей, так возможности и особенности применения этих методов для исследования сложных электрических цепей. Как развитие этого подхода в гл. 3 и 4 анализируются методы построения аналитических решений уравнений состояния второго порядка x = Ax+f, описывающих, например, реактивные электрические цепи, и уравнений состояния с переменной матрицей коэффициентов x==A(t)x+f, описывающих линейные нестационарные электрические цепи. Основное внимание в этих главах уделяется проблеме построения установившихся составляющих решений уравнений состояния, численный расчет которых связан с рядом трудностей. В гл. 5 описываются алгоритмы численной обработки полученных в предыдущих главах аналитических решений уравнений состояния. Высокая вычислительная эффективность развитых при этом процедур позволяет их использовать и в алгоритмах численного решения уравнений состояния (см. гл. 6) и машинного расчета электрических цепей (см. гл. 7).

Решение уравнений состояния простейших RL- и /?С-цепей практически сводится к определению установившейся либо принужденной составляющих, поскольку последующее нахождение преходящих и свободных составляющих уже не представляет трудностей. Если решение уравнений состояния ищут в численном виде, то целесообразнее определять сначала их принужденные составляющие, так как их выражают через собственные интегралы (интегралы с конечными пределами), вычислять которые проще. Следует отметить возможность применения интеграла Дюамеля для расчета процессов в таких реальных RL- и ^С-цепях, точные значения параметров R, L, С которых исследователю не известны. Дело в том, что в интеграл Дюамеля названные параметры явным образом не входят. Переходные же характеристики Y(t), N(t) могут быть определены для таких цепей экспериментальным путем. Если решения уравнений состояния ищут аналитически, то следует сначала найти их установившиеся составляющие, тем более что для многих задач именно эти составляющие решения и представляют наибольший инте Метод расчета переходных процессов в электрических цепях, заключающийся в последовательном расчете установившихся и преходящих составляющих их уравнений состояния, называют классическим. Для практической его реализации требуется разработка метода непосредственного нахождения установившихся составляющих решений уравнений состояния (без предварительного определения принужденных составляющих решений, как было осуществлено в данном параграфе).

§ 1.2. Применение преобразований Лапласа для нахождения установившихся составляющих решений уравнений состояния простейших электрических цепей

Для построения установившихся составляющих решений уравнений состояния электрических цепей эффективным оказывается использование интеграла Лапласа.

уравнений состояния (1.1), (1.2) с данным воздействием можно представить в виде сумм установившихся и свободных составляющих согласно выражениям (1.5), (1.6). При этом для нахождения установившихся составляющих необходимо вместо параметра р подставить в U(p, t) значения —R/L и — \/(RC):

u(t) = U(,&at уже не существует в точках р = — R/L и p = — l/(RC) (резонансный случай). Построение установившихся составляющих в резонансных случаях будет подробно проанализировано в конце данной главы. Здесь рассмотрим особенности установившихся составляющих I'L, u'c, выделив их из решений в виде сумм свободных IL ев, «с ев и принужденных imp, «с пр составляющих:

§ 1.5. Определение установившихся составляющих решений уравнений состояния простейших электрических цепей с периодическими кусочно-полиномиальными, кусочно-синусоидальными и импульсно-модулированными воздействующими напряжениями

функции наиболее часто используют для описания воздействующих напряжений u(t) в практических задачах. В данном параграфе рассматриваются примеры использования формул табл. 1.2, 1.3 для построения установившихся составляющих решений уравнений состояния (1.1), (1.2) простейших электрических цепей с воздействующими напряжениями отмеченных классов.

Приведенные примеры иллюстрируют методику решения и показывают, что даже для простейших электрических цепей аналитические выражения для установившихся составляющих тока и напряжения при сложных формах кривой воздействующего на цепь напряжения громоздки. Тем не менее эти выражения можно получать достаточно просто, используя табличные функции и простые алгебраические преобразования, которые требуют внимания и аккуратности, но не являются сложными для понимания.

Как видно из табл. 1.2, 1.3, каждая точка t\ разрыва непрерывных функций u(t), u^(t) обусловливает появление в изображении U(p,t) ЛПЛ экспоненциального члена вида ep('~lj\ При этом в установившихся составляющих /1=------U (------; Л, ис=-------X