Установившиеся составляющие

Задача VII. 2. Доказать, что при n-^-оо получается установившийся периодический процесс, причем ток при ti^=t2

Доказать, что при большом числе импульсов (п -> ею) имеет место установившийся периодический режим и предельные значения для напряжения на конденсаторе и тока имеют вид

В заключение следует отметить, что в простых случаях установившийся периодический ток может быть получен не только в виде суммы гармоник, но и в более удобной форме аналитического выражения, справедливого для определенного интервала времени ('например, полупериода). Для этого интервала записывается дифференциальное уравнение для тока, которое решается так называемым классическим методом (гл. 14) или с помощью преобразования Лапласа (гл. 15). Полученное решение включает в себя неизвестное начальное значение тока, которое затем 'находят из условия периодичности.

— установившийся (периодический) 33,

В заключение следует отметить, что в простых случаях установившийся периодический ток может быть получен не только в виде суммы _гармоник, но и- в более удобной форме аналитического выражения, • справедливого для определенного интервала времени (например, полупериода). Для этого интервала записывается дифференциальное урав-'нение для тока, которое решается так называемым классическим метр-дом (см. гл. 14) или с помощью преобразования Лапласа (гл. 15), Полученное решение включает в себя неизвестное начальное значение тока, которое затем находят из условия периодичности.

Поскольку требуется рассчитать установившийся периодический режим, когда Чгиакс = 'Чгм> а хРмин = — 4%, то к концу положительного полупериода напряжения источника (t=T/2} ток достигнет величины источника (t = T/2) ток достигнет величины /м ( 22-22, а) . В силу симметрии напря-сти магнитной характеристики процесс в следующий полупериод протекает совершенно аналогично ( 22-22, а) .

Поскольку требуется рассчитать установившийся периодический режим, когда

Построить график напряжения на входе цепи «10 и найти закон изменения напряжения на выходе и для любого интервала времени, включая установившийся периодический режим, если: a) ei(t) — = Е, ez(f) - О, 'Ь + Ь=*Т, t, = 0,8 Т; б) ei(t) = Е, ez(t) = О, ti = tz = 0,5 Т; в) ei(t) = 2Е, ez(t) = Е, Л = 4 = 0,5 Т. Принять: Е = 100 В;Т.= 2,5- Ю'3 с; R = 16 Ом; L = 0,1 Г.

11.63. По данным задачи 11.62 найти закон изменения тока на любом интервале времени, включая установившийся периодический режим, если е4 (f) = ez (t) = Em sin (w0t + ф); ^ = tz = Т; wq== = 2л/Т0, где Т0 = 2Т = 2,5- Ю'3 с; Ет = 100 В; R = 2 Ом; L%= - 4- Ю-3 Г.

Установившийся периодический режим соответствует п Ъ -»- 0. Подставим числовые значения:

Построить график напряжения на входе цепи «10 и найти закон изменения напряжения на выходе и для любого интервала времени, включая установившийся периодический режим, если: a) ei(t) — = Е, ez(f) - О, 'Ь + Ь=*Т, t, = 0,8 Т; б) ei(t) = Е, ez(t) = О, ti = tz = 0,5 Т; в) ei(t) = 2Е, ez(t) = Е, Л = 4 = 0,5 Т. Принять: Е = 100 В;Т.= 2,5- Ю'3 с; R = 16 Ом; L = 0,1 Г.

Вынужденная составляющая реакции является частным решением неоднородного уравнения. Вид частного решения зависит от правой части уравнения, т. е. от вида, приложенного к цепи сигнала. В общем случае сигнала произвольной формы определение частного решения связано с большими трудностями. Для простых, но важных для теории цепей форм сигналов — постоянных, изменяющихся в виде целых степеней t, синусоидальных и экспоненциальных сигналов, а также их линейных комбинаций вид частного решения получается подобным виду правой части уравнения цепи. Процесс нахождения частного решения сводится к подстановке в уравнение принятой функции с неизвестными коэффициентами или параметрами, которые определяются из приравнивания левой и правой частей уравнения. В общем случае отыскание частных решений в ^-области по указанному способу неопределенных коэффициентов получается очень громоздким. Лишь в случае простейшего, постоянного сигнала частное решение вычисляется просто. При подстановке в уравнение вынужденной составляющей в виде постоянной величины, которая в данном случае, так же как и в случае периодических решений, называется установившейся составляющей, все производные обращаются в нуль, в левой и правой частях уравнений остаются постоянные величины. Из этих равенств определяются установившиеся составляющие. При этом начальные условия ис (0), iL (0) не влияют на величину установившейся реакции. В связи с этим при определении решений уравнений в этой главе принимается действие на цепь постоянных напряжений и токов. В гл. 6 будет показано,

Установившиеся составляющие i'iy=l; uCy = 2. Полное общее решение уравнений состояния:

— l/(RC), что и у соответствующих свободных составляющих; установившиеся составляющие подобных членов не содержат. Такое определение позволяет рассматривать установившиеся составляющие решений уравнений (1.1), (1.2) как при периодических, так и при непериодических воздействующих функциях. Однако наибольший смысл предложенное представление решений имеет в том практически важном случае, когда воздействующие функции u(t) в уравнениях состояния периодические. При этом периодическими оказываются и установившиеся составляющие, которые характеризуют установившиеся режимы в цепях.

Решение уравнений состояния простейших RL- и /?С-цепей практически сводится к определению установившейся либо принужденной составляющих, поскольку последующее нахождение преходящих и свободных составляющих уже не представляет трудностей. Если решение уравнений состояния ищут в численном виде, то целесообразнее определять сначала их принужденные составляющие, так как их выражают через собственные интегралы (интегралы с конечными пределами), вычислять которые проще. Следует отметить возможность применения интеграла Дюамеля для расчета процессов в таких реальных RL- и ^С-цепях, точные значения параметров R, L, С которых исследователю не известны. Дело в том, что в интеграл Дюамеля названные параметры явным образом не входят. Переходные же характеристики Y(t), N(t) могут быть определены для таких цепей экспериментальным путем. Если решения уравнений состояния ищут аналитически, то следует сначала найти их установившиеся составляющие, тем более что для многих задач именно эти составляющие решения и представляют наибольший инте Метод расчета переходных процессов в электрических цепях, заключающийся в последовательном расчете установившихся и преходящих составляющих их уравнений состояния, называют классическим. Для практической его реализации требуется разработка метода непосредственного нахождения установившихся составляющих решений уравнений состояния (без предварительного определения принужденных составляющих решений, как было осуществлено в данном параграфе).

Использование ЛПЛ позволяет формально определять установившиеся составляющие решений уравнений состояния (1.1), (1.2). Пусть дифференциальное уравнение

Установившиеся составляющие представляют собой экспоненциальные функции с теми же показателями экспонент а, что и у воздействующей экспоненциальной функции.

реходные процессы в рассматриваемых RL- и /?С-цепях. Отметим, что при а<0 установившиеся составляющие представляют собой убывающие функции. Причем если а<— т^1 — -- R/L для ^1-цепи

и а <— tc1== — 1/(/?С) для #С-цепи, то установившиеся составляющие убывают быстрее соответствующих свободных составляющих. В этом случае установившиеся составляющие уже нельзя отождествлять с их асимптотическими составляющими. Особый интерес представляет рассмотрение предельного случая, когда а= — R/L для ^L-цепи и а= — \/(RC) для ^С-цепи. При этом использовать формулы (1.5), (1.6) для нахождения решений уравнений СОСТОЯ-

Оказывается, что установившиеся составляющие i't, u'c (не содержащие, по определению, членов вида е ^ b, e RC b, 6=^0) сов-

Можно заметить, что в резонансном случае [a=—R/L, a = = — l/(RC)] установившиеся составляющие i'i, ы'с описываются уже не экспоненциальной функцией, как это имело место в безрезонансном случае при [а=? — R/L; а.ф — 1/(RC)].

Интегралы в правых частях выведенных соотношений представляют собой целые функции (т. е. аналитические функции без оцр бых точек в конечной плоскости реС1). Следовательно, соотвеР ствующие изображения U(p, t) не имеют особенностей для конечных р, за исключением, быть может, простых полюсов на мнимой оси. Отсюда следует, что установившиеся составляющие решений уравнений (1.1), (1.2) существуют для любых периодических (антипериодических) воздействующих функций u(t), имеющих изображения Лапласа (предполагается, что R, L, С=^0). При этом установившиеся составляющие также будут периодическими (антипериодическими) функциями.