Уравнение неразрывности

4.2. Уравнение непрерывности.................. 47

4.2. Уравнение непрерывности

Уравнение непрерывности описывается дифференциальным уравнением, определяющим полную скорость изменения концентрации носителей в элементарном объеме. Оно может быть записано в двух формах (для электронов и дырок):

Таким образом, уравнение непрерывности устанавливает связь между изменением концентрации носителей в элементарном объеме полупроводника и проходящим через этот полупроводник током. Это уравнение широко используется при анализе физических процессов, протекающих в полупроводниковых приборах.

Уравнение непрерывности. Поведение неравновесных носителей заряда в полупроводниках описывается уравне-

Сократив обе части этого уравнения на dtdx, получим уравнение непрерывности для избыточных электронов:

Диффузионная длина носителей заряда. Используем уравнение непрерывности для решения задачи о распределе-лении неравновесных носителей заряда вдоль полупроводника, на одном конце которого поддерживается постоянная избыточная концентрация электронов Дп„ = п — п0. Для

Коэффициенты D и ц характеризуют движение совокупности неравновесных носителей заряда в условиях электронейтральности. В частном случае примесного полупроводника коэффициент амбиполярной диффузии равен коэффициенту Д1ффузии неосновных носителей заряда, а амбиполярная дрейфовая подвижность совпадает с подвижностью неосновных носителей заряда. Поэтому уравнение непрерывности в виде (3.7) всегда написывают для неосновных носителей заряда.

Прежде чем касаться конкретных методов измерения дрейфовой подвижности, рассмотрим процесс дрейфа совокупности неравновесных носителей заряда в электрическом поле. Для этого зададим закон генерации носителей заряда и решим уравнение непрерывности (3.7). Для простоты и наглядности проанализируем одномерную задачу.

Пусть в плоскости х==0 в момент времени /=0 в образце п-ти-па электропроводности были генерированы пары электрон — дырка. Считая электрическое поле в образце постоянном, подставим в уравнение (3.7) x=xi + it,p^'t, т. е. введем новую, движущуюся со скоростью \t,p& систему координат xi, t. В этой системе координат уравнение непрерывности приобретает вид

Рассмотрим диффузию неравновесных носителей заряда. Пусть в момент времени ^=0 на плоской поверхности л:=0 полубесконечного образца в виде узкой полосы длиной / и шириной w с помощью мгновенного источника генерируются носители заряда. Для нахождения распределения неравновесных носителей заряда нужно решить уравнение непрерывности, содержащее диффузионный и рекомбинационный члены. Если неосновные носители заряда — дырки, то уравнение записывается в виде

Уравнение (7.77), представляющее собой уравнение неразрывности потока в клиновидном зазоре, проинтегрируем в пределах от 0 до h:

jdvjdt + др/dz + yg = О, уравнение неразрывности

При течении жидкости в трубе переменого сечения с учетом ее несжимаемости объемные расходы должны быть равны между собой в любом сечении потока (например, для сечений ом и 012) в каждый момент времени (Q = const). Так как для coi сечения Q, = Viu>i, а для и2 сечения Q2= V2a>2, то ПРИ условии Q,==Q2 получаем Vicoi = = V2a)2, называемое уравнением неразрывности. При известном расходе по этому уравнению можно вычислять скорости потока жидкости в трубе с переменным живым сечением либо выбирать требуемое сечение трубопроводов по заданным расходу и скоростям. Уравнение неразрывности хорошо иллюстрируется увеличением скорости течения рек в местах их сужения. Движение жидкости в реке или канале, характеризующиеся наличием свободной поверхности, называется безнапорным, тогда как ее перемещение в сплошь заполненной трубе является напорным.

нений, к последним присоединяется уравнение неразрывности, которое выражает закон сохранения массы: из каждого произвольного объема, заполненного жидкостью, может вытечь лишь столько жидкости, сколько в этот объем втекает, если рассматриваемый объем не содержит источников, т. е. в поле без источников для несжимаемой жидкости

Закон сохранения массы применительно к каналу с непроницаемыми стенками формулируется следующим образом: количество жидкости, протекающее в единицу времени через любое поперечное сечение канала, есть величина постоянная. Отсюда уравнение неразрывности (8-26) приобретает для канала форму

При этом уравнение неразрывности в относительном движении записывается в простейшей форме

Как можно видеть, вместо обычного, т. е. для неподвижного канала, одного уравнения получены два уравнения, к которым для производимого двухмерного рассмотрения добавляется уравнение неразрывности в виде

3. Уравнение неразрывности жидкости

Уравнение (7.8) называется уравнением Бернулли, характеризующим изменение основных параметров течения среды. Воспользуемся известным законом сохранения массы и применим его к движущейся среде. Согласно этому закону при установившемся, одномерном течении через каждое поперечное сечение канала должна протекать в единицу времени одна и та же масса газа. Для поперечного сечения 1—/ ( 7.4, а) объем среды, протекающий в единицу времени, Vc — SjVlt г масса среды Q^VI (соответственно в сечении 2—2 масса p2S2w2 = = piSjfi)- Следовательно, уравнение неразрывности для стационарного течения среды имеет вид

Для рассматриваемого случая уравнение неразрывности (7.9) имеет вид

2. Уравнение неразрывности потока. При направлении оси z вверх уравнение неразрывности имеет вид: