Уравнения отсечений

Система устойчива, если действительные части всех корней характеристического уравнения отрицательны. Физически это означает, что после прекращения действия внешних возмущений колебания не нарастают, а затухают. Критерий Рауса — Гурвица является математическим методом, позволяющим, не решая характеристического уравнения, установить на основании свойств определителей, составленных из коэффициентов ak, выполняется ли указанное выше требование.

Система устойчива, если действительные части всех корней характеристического уравнения отрицательны. Физически это означает, что после прекращения действия внешних возмущений колебания не нарастают, а затухают. Критерий Рауса-Гурви-ца является математическим методом, позволяющим, не решая характеристического уравнения, установить на основании свойств определителей, составленных из коэффициентов а*, выполняется ли указанное выше требование.

Если же все действительные корни характеристического уравнения отрицательны, а все комплексно-сопряженные корни имеют отрицательную действительную часть, то исследуемое движение является устойчивым.

Если же все действительные корни характеристического уравнения отрицательны, а все комплексно-сопряженные корни имеют отрицательную действительную часть, то исследуемое движение является устойчивым.

Условие устойчивости состояния покоя системы заключается в том, что после прекращения действия внешних возмущений система возвращается в исходное состояние. Для этого необходимо, чтобы возникающие в системе при нарушении состояния покоя свободные (переходные) токи и напряжения были затухающими. А это, в свою очередь, означает, что корни pi, р2, ..., рп уравнения (8.20) должны быть либо отрицательными действительными величинами, либо комплексными величинами с отрицательными действительными частями. Из этих простых физических представлений вытекает следующий фундаментальный критерий устойчивости любых линейных систем1: система устойчива, если действительные части всех корней характеристического уравнения отрицательны.

Условие устойчивости состояния покоя цепи заключается в том, что после прекращения действия внешних возмущений цепь возвращается в исходное состояние. Для этого необходимо, чтобы возникающие в цепи при нарушении состояния покоя свободные (переходные) токи и напряжения были затухающими. А это, в свою очередь, означает, что корни ри р2) ..., рп уравнения (5.86) должны быть либо отрицательными действительными величинами, либо комплексными величинами с отрицательными действительными частями. Из этих простых физических представлений вытекает следующий фундаментальный критерий устойчивости любых линейных систем1: система устойчива, если действительные части всех корней характеристического уравнения отрицательны. Заметим, что левая часть характеристического уравнения (5.86) представляет собой не что иное, как знаменатель передаточной функции цепи, записанной в форме

Колебания будут затухающими и состояние равновесия устойчивым около значения тока г'0, если вещественные части корней характеристического уравнения отрицательны, т. е. о ^> 0.

венные части всех корней характеристического уравнения отрицательны, то/—Я) при f-кс, процесс оказывается затухающим и рассматриваемое состояние равновесия устойчиво. Если хотя бы один корень имеет положительную вещественную часть, то/нарастает с увеличением / и состояние равновесие неустойчиво. При этом нарастание амплитуды выводит исходную точку равновесия за пределы линеаризованного участка, что может привести к ограничению дальнейшего нарастания. Наступает устойчивый периодический процесс, который называют автоколебательным.

Колебания будут затухающими и состояние равновесия устойчивым около значения тока г0, если вещественные части корней характеристического уравнения отрицательны, т. е. 8 > 0.

Статическая устойчивость —¦ это способность электрической системы восстанавливать исходный режим после малого его возмущения или режим, весьма близкий к исходному (если возмущающее воздействие не снято). Иными словами, статическая устойчивость — это способность электрической системы при малом отклонении ее параметров возвращаться к режиму с исходными значениями указанных выше параметров. Система статически устойчива, если все действительные корни и действительные части комплексных корней характеристического уравнения отрицательны. Если нет комплексных корней с положительными действительными частями, но имеется хотя бы один положительный действительный корень, то нарушение устойчивости имеет форму апериодического ухода от исследуемого режима, т.е. нарушается статическая апериодическая устойчивость [7].

1-6. Матрица отсечений. Уравнения отсечений . . 47 1-7. Матрица фундаментальных контуров. Уравнения

1-6. МАТРИЦА ОТСЕЧЕНИЙ. УРАВНЕНИЯ ОТСЕЧЕНИЙ

Для графов на 1-1 \,а, б при выбранном, как показано, дереве (лесе) уравнения отсечений запишутся в виде

Независимость уравнений отсечений определяется тем фактом, что ранг матриц отсечений, определяемый порядком единичной матрицы, входящей в матрицу отсечений, всегда точно равен числу уравнений. Каждое из уравнений, входящих в уравнения отсечений, содержит •по крайней мере одну переменную (соответствующую ветви дерева), которая не входит в другие уравнения.

Уравнения отсечений, записанные в матричной форме (1-48а), позволяют прийти к важному заключению о том, что переменные, входящие в уравнения отсечений и соответствующие ветвям деревч УЬ, всегда могут быть выражены через переменные, -соответствующие хордам. Действительно, из (1-48а) следует, что

Уравнения фундаментальных контуров, как и уравнения отсечений, независимы, так как матрица М имеет ранг, равный числу уравнений (определяется порядком единичной матрицы). Каждое из уравнений фундаментальных контуров содержит по крайней мере одну переменную (соответствующую хорде), не входящую в другие уравнения.

По графу системы мы можем записать уравнения (1-44) и (1-45), характеризующие структуру системы, из которых лишь часть будут независимыми. Выбор независимых уравнений, как было показано в§ 1-6, 1-7, определяется принятым деревом (лесом) графа. Независимые уравнения, характеризующих структуру, а именно уравнения фундаментальных контуров (1-53) и уравнения отсечений (1-49), совместно с полюсными уравнениями компонент дают полное математическое описание системы. Дальнейшая наша цель — представление этих

уравнения отсечений

Три системы уравнений (3-3), (3-4) и (3-5) решаются совместно, для чего, очевидно, должны быть сделаны необходимые подстановки. Полюсные уравнения в виде (3-3) не могут быть подставлены ни в уравнения фундаментальных контуров, ни в уравнения отсечений; следовательно, единственно возможный путь (если не менять вида полюсных уравнений) —это найти связь переменных, входящих в полюсные уравнения, с деревом графа, а затем подставить уравнения фундаментальных контуров и отсечений в полюсные уравнения.

Вновь для выбора дерева используем основное правило. Полюсные уравнения можно теперь непосредственно подставить в уравнения отсечений. Для этого уравнения (3-5) представим в виде

1 Ниже будет показано, что при использовании методов хорд и ветвей достаточно записать либо уравнения фундаментальных контуров, либо уравнения отсечений.