Уравнения контурных

Полюсные уравнения компонент с сухим трением, характеристики которых показаны на 2-14,а, запишутся в таком виде: для поступательного движения

В предыдущем параграфе мы показали, как строить граф системы. Предполагается, что известны полюсные уравнения компонент, включая внешние воздействия. Ранее при выводе полюсных уравнений мы не делали специального акцента на их форме, а руководствовались в основном соображениями удобства. В ряде случаев форма полюсных уравнений диктовалась физическими соображениями. Так, полюсные уравнения рычага (2-71) принципиально можно было записать лишь в приведенной форме, так как параллельные переменные были связаны только с параллельными, а последовательные — с последовательными.

Пусть мы имеем граф системы, состоящий из е элементов, в том числе е\, относящихся к заданным параллельным переменным, BZ, относящихся к заданным последовательным переменным. Для остальных ez — e — (е\ + еъ) элементов известны полюсные уравнения компонент. Таким образом, графу системы соответствуют е3 полюсных уравнений и (е\+ец) уравнений вида x()t) =x3AK(t) или У(1) =!/зад('0> которые определяют заданные переменные.

Теперь можно подставить выражения (3-6) и (3-7) для незаданных переменных ХС1 и Кь2 в полюсные уравнения компонент (3-3). Но, прежде чем осуществить такую подстановку, нужно определить, какие группы переменных полюсных уравнений должны входить в дерево и его дополнение. Подставим правые части выражений (3-6) и (3-7) вместо переменных Y^ и Хг в правой части уравнений (3-3). Тогда, естественно, при выборе дерева переменные, входящие в полюсные уравнения, должны распределиться следующим образом:

Мы рассмотрели наиболее общий метод получения уравнений системы, когда полюсные уравнения компонент представлены через /z-параметры в виде (3-3). Так как результирующие уравнения (3-11) дают в неявном виде связь между параллельными переменными ветвей и последовательными переменными хорд, то рассмотренный метод получения уравнений системы обычно называют методом ветвей -хор д, а уравнения (3-11)—у равнениями ветвей-хорд.

Пусть полюсные уравнения компонент представлены в виде

Подставим в (3-13) полюсные уравнения компонент (3-12):

Пусть теперь полюсные уравнения компонент записаны через параметры короткого замыкания:

Вторым шагом решения является получение графа системы. Полюсный граф -системы образуется из полюсных графов компонент путем объединения вершин, соответствующих соединению компонент в системе. Полюсный граф системы показан на 3-6,в сплошными линиями. Граф системы получается^ путем добавления к полюсному графу системы элементов 8 и 9, соответствующих приложенным к системе внешним воздействиям Ms и ид (пунктир на 3-6,в). Ориентация элементов графа системы выбрана здесь произвольно, подобно тому как выбираются направления токов при расчете разветвленной электрической цепи. Вместе с тем выбранная ориентация всегда должна выдерживаться при выводе уравнений, и лишь в итоговых уравнениях знаки у переменных могут быть при необходимости изменены.

Третьим шагом является выбор дерева графа системы. Дерево, являющееся основой для записи уравнений контуров и отсечений, выбирают так, чтобы заданные параллельные переменные вошли в качестве ветвей, а заданные последовательные переменные—в качестве хорд и чтобы искомые параллельные переменные входили в дерево. Обычно можно выбрать несколько вариантов дерева. Так, для рассматриваемой задачи дерево, удовлетворяющее поставленным выше условиям, может быть 'выбрано как показано на 3-6,г, так как при этом искомые переменные <р2, <ра,
В § 3-2 указывалось, что метод ветвей-хорд применяется для вывода уравнений системы в общем случае, когда полюсные уравнения компонент записаны через /жа-раметры. В конкретных задачах часто представляется возможность выразить полюсные уравнения всех компонент, входящих в систему, через параметры холостого хода или (параметры короткого замыкания и получить итоговые уравнения в форме хорд или ветвей. Методы ветвей и хорд проще, чем метод ветвей-хорд. Однако существует класс компонент, полюсные уравнения которых 142

Уравнения контурных токов обычно решают с использованием определителей или матриц.

§ 3.2. УРАВНЕНИЯ КОНТУРНЫХ ТОКОВ (ТОКОВ ЯЧЕЕК)

В качестве примера непосредственно по схеме составим уравнения контурных токов для цепи, показанной на 3.4 с заданными численно значениями сопротивлений резистивных ветвей. Наметив направления и номера контурных токов в трех ячейках, определяем суммированием сопротивлений ветвей ячеек значения собственных сопротивлений, которые располагаем на главной диагонали; недиагональные элементы представляют взаимные сопротивления, равные сопротивлениям ветвей, общих двум контурам, с отрицательным знаком. Матрица параметров контурных токов

Уравнения контурных токов запишем согласно (3.13):

Решение для контурного тока (3.28) и узлового напряжения (3.35) и параметры, определяемые выражениями (3.32) и (3.39), так же как исходные уравнения контурных токов и узловых напряжений, являются дуальными. До сих пор неоднократно применялись понятия дуальных величин, дуальных элементов и соотношений. Теперь можно дать общее определение понятия дуальных цепей.

Две цепи называются дуальными, если уравнения контурных токов одной цепи становятся идентичными уравнениям узловых напряжений другой цепи при замене всех величин уравнений на дуальные: и *•» t; R«-*G и т. д. Из данного определения можно сделать следующие выводы:

1. Дуальными могут быть только цепи плоской структуры, так как для ячеек таких цепей можно составить уравнения контурных токов.

Уравнения контурных токов. Для конфигурации цепи 5.4, а с источником напряжения удобно применить метод контурных токов. Выбрав в качестве контуров обе ячейки, имеем систему уравнений контурных токов

Уравнения контурных токов. Рассмотрим цепь 5.10, а с независимыми начальными условиями: iL (0) = /0 и «С(0) = (У0. Преобразовав источник тока в эквивалентный источник напряжения с напряжением R%i0, получим цепь с двумя контурами ( 5.10, б). Ток в общей двум контурам емкостной ветви ic = i* — — i*. Суммирование напряжений в элементах, входящих в оба

§ 3.2. Уравнения контурных токов (токов ячеек) . ,........ 47

уравнения контурных токов (мощностей);