Уравнения гельмгольца

1-6. Матрица отсечений. Уравнения отсечений . . 47 1-7. Матрица фундаментальных контуров. Уравнения

1-7. МАТРИЦА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ КОНТУРОВ. УРАВНЕНИЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ КОНТУРОВ

Для графов на 1-11,а, б при выбранном, как показано, дереве (лесе) уравнения фундаментальных контуров имеют вид:

Уравнения фундаментальных контуров, как и уравнения отсечений, независимы, так как матрица М имеет ранг, равный числу уравнений (определяется порядком единичной матрицы). Каждое из уравнений фундаментальных контуров содержит по крайней мере одну переменную (соответствующую хорде), не входящую в другие уравнения.

Из уравнения (1-52а) следует важный вывод о том, что переменные хорд, входящие в уравнения фундаментальных контуров, всегда можно выразить через переменные ветвей. Действительно, из (1-52а) следует, что

По графу системы мы можем записать уравнения (1-44) и (1-45), характеризующие структуру системы, из которых лишь часть будут независимыми. Выбор независимых уравнений, как было показано в§ 1-6, 1-7, определяется принятым деревом (лесом) графа. Независимые уравнения, характеризующих структуру, а именно уравнения фундаментальных контуров (1-53) и уравнения отсечений (1-49), совместно с полюсными уравнениями компонент дают полное математическое описание системы. Дальнейшая наша цель — представление этих

Если выделить заданные и соответствующие им переменные, то уравнения фундаментальных контуров (1-52,а) и отсечений (1-48,а), полученные для выбранного дерева, всегда можно записать в виде:

уравнения фундаментальных контуров

Три системы уравнений (3-3), (3-4) и (3-5) решаются совместно, для чего, очевидно, должны быть сделаны необходимые подстановки. Полюсные уравнения в виде (3-3) не могут быть подставлены ни в уравнения фундаментальных контуров, ни в уравнения отсечений; следовательно, единственно возможный путь (если не менять вида полюсных уравнений) —это найти связь переменных, входящих в полюсные уравнения, с деревом графа, а затем подставить уравнения фундаментальных контуров и отсечений в полюсные уравнения.

вательные переменные хорд могут быть заданы независимо. Так как в полюсных уравнениях параллельные переменные выражены через последовательные, то можно непосредственно подставить полюсные уравнения в уравнения фундаментальных контуров. Для этого запишем уравнения фундаментальных контуров (3-4) в виде

Четвертый шаг состоит в записи уравнений фундаментальных контуров'. Обычно уравнения фундаментальных

В теории волновых процессов уравнения вида (10.32) или (10.33) носят название уравнений Гельмгольца по имени выдающегося немецкого ученого прошлого века. По своей структуре эти уравнения аналогичны тем, которые описывают собственные колебания LC-контура (гл. 7). Принципиальное отличие состоит в том, что уравнения Гельмгольца определяют не временные, а пространственные характеристики процессов.

Общее решение уравнения Гельмгольца относительно комплексной амплитуды напряжения в линии имеет, очевидно, следующий вид:

В теории волновых процессов уравнения вида (1.6) и (JL7) носят название уравнений Гельмгольца*. Ясно, что решать следует только одно из этих уравнений, поскольку вторая неизвестная величина найдется из системы (1.5) простым дифференцированием. По структуре уравнения (1.6) и (1.7) аналогичны тем, которые имеют место в теории гармонического осциллятора, подобного маятнику или колебательному контуру. Принципиальное отличие состоит в том, что уравнения Гельмгольца определяют не временные, а пространственные характеристики процесса.

Уравнения Гельмгольца можно вывести не из телеграфных уравнений, а непосредственно, записав условие электрического равновесия одной из элементарных ячеек, изображенных на 1.1, по методу контурных токов:

§ 1.2. Общее решение уравнения Гельмгольца

Как известно из теории линейных дифференциальных уравнений, общее решение уравнения Гельмгольца d2U/dz2 — у2&=0 записывается следующим образом:

, Положение точек равных фаз во времени и в пространстве определяется здесь уравнением «qf+'pz= const, из которого видно, что с ростом t координата г должна уменьшаться, а не увеличиваться, как в предыдущем случае. Поэтому формулы (1.18) и (1.19) соответствуют волнам, распространяющимся или, как часто говорят, бегущим в отрицательном направлении оси г с той же скоростью 1>ф. Будем придерживаться определенной терминологии, называя волны вида ехр ( — /рг) прямыми, а вида exp (/pz) — обратными волнами. Прямая и обратная волны соответствуют двум линейно независимым решениям уравнения Гельмгольца и никак не связаны друг с другом. В бесконечно протяженной линии оба направления распространения равноправны, и поэтому в название волн не следует вкладывать абсолютного смысла.

Поставим задачу определить элементы ЛВС?>-матрицы отрезка регулярной линии передачи. Воспользуемся тем, что наиболее об-щее решение уравнения Гельмгольца имеет вид суммы двух волн, бегущих в противоположных направлениях:

Отсюда можно вывести неоднородные уравнения Гельмгольца, в которые будет входить лишь одна из неизвестных величин — ток или напряжение. Дифференцируя оба уравнения системы (6.7) по 2 и объединяя их, получаем

Зная функцию Грина, можно найти решение любого неоднородного уравнения Гельмгольца посредством прямого интегрирования.

Математическое доказательство этого факта основано на том, что система собственных функций уравнения Гельмгольца при однородных краевых условиях обладает фундаментальным свойством ортогональности :