Уравнениям максвелла

пряжения и токи, связанные между собой двумя нелинейными уравнениями состояния

Воспользуемся уравнениями состояния и выхода

Уравнения состояния. Полученные ранее уравнения (5.26) и (5.29) являются одномерными (скалярными уравнениями состояния).

Таким образом, особый интерес представляет детальное знакомство с проблемами построения аналитических решений уравнений состояния таких линейных стационарных электрических цепей, которые содержат только один накопитель энергии — индуктивный или емкостный элемент. Целесообразность выделения в отдельный класс таких цепей и последующего углубленного исследования их уравнений обусловлена следующими обстоятельствами. Во-первых, подобные цепи — наиболее простые электрические цепи, в которых возникают процессы, обусловленные накоплением и расходованием энергии электромагнитного поля. Изучение подобных простейших процессов представляет интерес тем более, что подобные цепи соответствуют достаточно важным в прикладном отношении электротехническим устройствам. Кроме того, простота математической структуры уравнений состояния подобных цепей и наглядность физической картины явлений, им соответствующих, позволяют простыми математическими средствами создать такую методику всестороннего исследования этих уравнений, которая бы в наибольшей мере отвечала особенностям физической природы рассматриваемых явлений. Во-вторых, изучение явлений в подобных цепях представляет интерес в том смысле, что все более сложные цепи с несколькими накопителями энергии фактически состоят из совокупности цепей выделенного класса, рассматриваемых как подцепи. Еще более важным является то, что созданная методика математического исследования уравнений состояния простейших электрических цепей может быть распространена и на уравнения состояния сложных электрических цепей, содержащих большое число накопительных элементов, и даже на уравнения состояния электромагнитных сред. Дело в том, что уравнения состояния простейших электрических цепей x—ax + f, где X—IL(X—UC) —ток индуктивного (или напряжение емкостного) элемента соответствующей цепи, имеют формальное сходство с уравнениями состояния сложных электрических цепей, содержащих несколько накопителей энергии: x=Ax+f, где x~[xi ...хт]* — /n-мерный вектор переменных состояния. Формальным сходством обладает и запись аналитических

Электрические цепи с сосредоточенными постоянными параметрами, содержащие несколько накопителей энергии, в общем случае описываются уравнениями состояния вида

Электрические цепи, состоящие только из реактивных элементов, могут быть описаны дифференциальными уравнениями состояния второго порядка:

В дальнейшем эти уравнения будем называть дифференциальными уравнениями состояния реактивных электрических цепей или просто уравнениями состояния реактивных цепей, В общем случае к уравнениям подобного вида могут быть сведены и такие уравнения состояния (2.1) произвольных T^LC-цепей, в которых вектор переменных состояния х может быть разбит на два подвектора одинаковой размерности. В этом случае уравнение (2.1) может быть записано в виде

Линейные нестационарные (параметрические) электрические цепи (цепи с зависящими от времени параметрами) описываются уравнениями состояния вида

Введение ряда допущений (пренебрежение насыщением магнитной системы машины, упрощение конструкции и т. д.) позволяет рассматривать идеализированную электрическую машину, которая описывается уравнениями состояния вида

Электрические цепи с идеальными вентилями (ключами) в том случае, когда моменты коммутации (переключения) вентилей известны, а выбор переменных состояния для отдельных межкоммутационных интервалов неизменен, описываются уравнениями состояния вида

Уравнения (7.82) называются уравнениями состояния цепи, a /L и ис — переменными состояния. Начальные условия fi.(0) = /0 и ис(0) = и0 определяют с помощью (7.82) состояния цепи в люИой момент г^О. Величины iL и ис можно считать компонентами вектора состояния х.-

Г. Герц умер знаменитым в возрасте всего 37 лет. Он был награжден, по-видимому, всеми медалями и другими знаками отличия, которые уже существовали для ученых. Но Герц был не только экспериментатором. Именно он совместно с О. Хеви-сайдом придал «сумбурным» двенадцати уравнениям Максвелла их современный вид.

База ТОЭ — это теория электромагнитного поля, частными случаями которой является теория электрических и магнитных цепей. Та-к и построена книга известного венгерского ученого К- Шимони «Теоретическая электротехника» [8]. Ее первые две части (примерно 300 страниц из 750) посвящены сначала уравнениям Максвелла, затем постоянным полям-—электрическому и магнитному. За этим следует третья часть — анализ и синтез электрических цепей (240 страниц) и последняя часть, посвященная электромагнитным волнам (210 страниц). В предисловии к книге К. Шимони редактор

поля, преобразуются в векторную форму, их соотношения приводятся к уравнениям Пуассона, Лапласа и двум уравнениям Максвелла и устанавливаются аналогии и различия для отдельных видов полей. Эти аналогии позволяют в ряде важных случаев рассчитывать различные поля аналогичным образом, что целесообразно показать далее на примерах применения уравнения Лапласа (включая метод разделения переменных), уравнения Пуассона, а также для нелинейных сред — уравнений Максвелла. После этого целесообразно изложить метод зеркальных изображений с его использованием для всех видов полей в линейных средах.

4. Расчет постоянных полей по уравнениям Максвелла

Общий случай расчета полей по уравнениям Максвелла, т. е. по вихрям и истокам, весьма затруднителен, так как требуется найти три составляющих вектора Е, или 6, или Н. Расчет упрощается, "если с помощью выбора системы координат задачу удается свести к случаю, когда искомый вектор зависит лишь от одной координаты. В качестве примера можно рассмотреть расчет электрического поля на основе зависимости divD = 0 в плоском конденсаторе, диэлектрическая проницаемость диэлектрика которого пропорциональна расстоянию до обкладки, с вычислением емкости конденсатора. Выбор прямоугольной системы координат позволяет свести задачу к упомянутому простому случаю.

Согласно уравнениям Максвелла в комплексной форме

РАСЧЕТ ПОЛЕЙ ПО УРАВНЕНИЯМ МАКСВЕЛЛА

§ 24.1. О расчете полей по уравнениям Максвелла

Таким образом, при расчете полей по уравнениям Максвелла можно переносить результаты расчета одного поля на расчет другого, заменяя величины по табл. 22.1 или 23.1 в зависимости от вида соответствия исходных данных.

В случае неоднородной среды или заданий векторов Е или Н на -граничных поверхностях расчет электромагнитного поля должен производиться непосредственно по основным уравнениям Максвелла.

Глава двадцать четвертая. Расчет полей по уравнениям Максвелла ..... 357