Уравнений связывающих

При этом знание вектора состояния \(t), элементы которого представляют собой напряжения на емкостных элементах и токи в индуктивных элементах, позволяет на каждом шаге интегрирования уравнений состояния цепи определять соответствующие значения нелинейных реактивных элементов.

По приведенной программе с помощью обратного преобразования Лапласа рассчитаем значения переходной характеристики и сравним их с результатами расчета по программе 3.4 (интегрирование уравнений состояния). Для выполнения расчета по программе 6.2 приняты значения М=16, Т=0,2. При интегрировании уравнения состояния шаг интегрирования принят Т=0,2, порядок формулы интегрирования А=4 (точность, соответствующая методу Рунге — Кут-та четвертого порядка), интервал интегрирования 11с.

Результаты расчета приведены в табл. 6.2. Там же приведены результаты расчета тех же величин, проведенного методом интегрирования уравнений состояния. Из таблицы видно, что характеристики, полученные двумя методами, имеют близкие значения. При этом следует иметь в виду, что трудоемкость получения характеристик путем интегрирования уравнения состояний выше, чем при использовании обратного преобразования Лапласа.

Здесь рассмотрим уравнения состояния цепи п-го порядка, удобными и естественными переменными которых являются токи индуктивностеи и напряжения емкостей. Сначала сформулируем основные этапы составления уравнений состояния цепи, не имеющей индуктивных сечений и емкостных контуров.

Проиллюстрируем составление уравнений состояния на примере цепи 5.12, а. Выбранное нормальное дерево определяющее главные сечения и главные контуры показаны на 5.12, б. Применяя ЗТК к главным сечениям, имеем для токов емкостных и резистивных ветвей дерева (Сь С2, Ri, u0):

Решение системы линейных дифференциальных уравнений состояния для приложенных к цепи при t>t0 воздействиях даст значения всех переменных состояний: напряжений емкостей

Отсюда следует вывод: достаточно определить напряжения емкостей и токи индуктивностей из решений системы уравнений состояния, удовлетворяющих заданным независимым начальным условиям, чтобы найти токи и напряжения всех ветвей. Следовательно, напряжения емкостей и токи индуктивностей действительно образуют систему переменных состояния: наименьшего числа переменных, полностью определяющих поведение цепи для сигналов, заданных при t>t0, и начальных условий при t = t0.

то в качестве переменных состояния xt можно принять xt = x(t) и п — 1 ее производных и записать систему уравнений состояния в следующем виде:

Матрицы уравнений состояния:

Рассмотрим основные этапы аналитического решения уравнений состояния. Пусть дана система из двух уравнений

Полное решение уравнений состояния равно сумме свободной и установившейся составляющих:

Из уравнений, связывающих токи в нелинейных сопротивлениях

Вначале надо напомнить, что расчет линейных электрических цепей аналогичен для всех их режимов. Он заключается в составлении и решении системы алгебраических уравнений, связывающих напряжения,'токи и сопротивления или проводимости ветвей цепи. При этом в случае установившихся режимов постоянного тока — это реальные величины U, I, R или G, синусоидально-

структура которого в общем случае предполага- 9.1 ется неизвестной, определяются коэффициентами (параметрами) соотношений или уравнений, связывающих токи и напряжения внешних выводов.

Нестандартные модели накопительных элементов. Рассмотрим интерпретацию уравнений, связывающих токи и напряжения емкостных и индуктивных элементов в «рабочей математике», где производные выражают через чисто алгебраические операции. Воспользовавшись определением левой производной /1!', получим

Расчет. Составим систему уравнений, связывающих неизвестные параметры схемы с заданными показателями импульсов:

Учитывая (2.7), можно записать систему уравнений, связывающих обобщенные силы и обобщенные скорости системы с п степенями

Таким образом, как и для трансформатора тока, оптимальные значения основных конструктивных параметров трансформатора напряжения могут быть определены из выражения для угловой погрешности: В качестве других уравнений, связывающих конструктивные и электромагнитные параметры трансформатора, примем выражение, определяющее зависимость между напряжением и индукцией

Из уравнений, связывающих токи в нелинейных сопротивлениях и напряжения на них, получаются выражения:

Процесс решения задачи на ЦЭВМ начинается с ее математической формулироЕжи и составления уравнения или системы уравнений, связывающих искомые значения или функции с исходными данными. Затем разрабатывают способ решения задачи, при этом широко используют численные методы решения дифференциальных, алгебраических и других уравнений.

Для вывода уравнений, связывающих входные и выходные напряжения и токи, удобно заменить приемник Z2 с напряжением #2 эквивалентным источником напряжения без внутреннего сопротивления ( 9.2, б). Согласно § 3.1, э. д. с. последнего должна быть равна — #2 = — Z2/2. Тогда можно применить метод наложения (см. § 3.6). Считая сначала существующим только источник O-L и замыкая накоротко зажимы источника — Ог ( 9.2, в), находят токи 1[ и /а, которые, очевидно, будут пропорциональны напряжению Ог:

Как было показано, все методы расчета линейных электрических цепей основаны на законах Ома и Кирхгофа и аналогичны для установившихся режимов постоянного и синусоидального тока и для переходных процессов. Они заключаются в составлении и решении системы алгебраических уравнений, связывающих напряжения, токи и сопротивления (проводимости) ветвей цепи, причем при постоянном токе это реальные величины U, I, R или G, при синусоидальном—символические (комплексные) изображения О, /, Z или Y, а при переходных режимах — операторные изображения U (p), I (p), Z (р) или Y (р). После решения системы уравнений для установившихся синусоидальных и для переходных процессов осуществляется переход от символических и операторных изображений искомых величин к их оригиналам — реальным мгновенным значениям напряжений и токов.