Уравнений отсечений

Совместное решение уравнений относительно тока /2 дает

Реша,я полученную систему из трех уравнений относительно сопротивлений звезды, находим:

При замене трехлучевой звезды эквивалентным треугольником сопротивления резисторов треугольника гаь, гьс и гса можно определить по известным сопротивлениям резисторов звезды га, гь и г с, решая систему уравнений (3.4), (3.5) и (3.6) относительно гаь, гьс и гса- Для этого перемножим попарно (3.4) на (3.5), (3.5) на (3.6), (3.6) на (3.4), сложим эти произведения и проведем соответствующие преобразования. В результате получим

Решая эту систему из четырех уравнений относительно коэффициентов четырехполюсника, получаем

Логарифмируя каждое из уравнений системы (4.27), получаем систему алгебраических уравнений относительно \пхг. Если число

Для этого заметим, что по первому закону Кирхгофа получается Ny алгебраических уравнений относительно токов ветвей. При этом каждый ток одновременно входит в два уравнения с разными знаками. Как следствие, сумма всех токов по всем узлам автоматически обращается в нуль. Это дает одно условие связи, налагаемое на токи, так что общее число независимых уравнений по первому закону Кирхгофа составляет Ny—1.

Решения этих уравнений относительно 1\ и /2 имеют вид

Подставив значение ^=0 вначале в правую часть решения (7.20), а затем в производную от этого выражения, .на основании условий (7.21) и (7.22) получаем систему двух линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных А\ и Л2:

Начальное условие (7.22), очевидно, справедливо и для контура с потерями. Воспользовавшись этим условием, а также общим решением вида (7.36), приходим к системе двух алгебраических уравнений относительно А\ и Л2:

и воспользовавшись начальными условиями, приходим к следующей системе алгебраических уравнений относительно неизвестных

Применив начальные условия (8.33) и (8.34) к равенству !(8.36), получаем следующую систему линейных уравнений относительно постоянных А\ и Л2:

Независимость уравнений отсечений определяется тем фактом, что ранг матриц отсечений, определяемый порядком единичной матрицы, входящей в матрицу отсечений, всегда точно равен числу уравнений. Каждое из уравнений, входящих в уравнения отсечений, содержит •по крайней мере одну переменную (соответствующую ветви дерева), которая не входит в другие уравнения.

Аналогично из уравнений отсечений (3-5) можно выразить в явном виде последовательные переменные ветвей:

Из уравнений отсечений (3-5) выразим Ybl через Fcl и ХС2:

Уравнения (3-29) содержат, кроме интересующих нас последовательных переменных хорд г'2, г'з, k, ii и г'э, также последовательные переменные ветвей ц, j's, is и йо- Кроме того, число этих уравнений меньше, чем общее число неизвестных. Как уже отмечалось в § 3-2, последовательные переменные ветвей могут быть выражены через последовательные переменные хорд на основании уравнений отсечений (3-5). В § 3-i2 уравнения отсечений были представлены в виде (3-15). Однако практически удобно записать уравнения отсечений следующим образом:

Четвертым шагом является запись по графу системы уравнений отсечений.

Пятым шагом является запись полюсных уравнений компонент и уравнений отсечений в виде, удобном для последующих преобразований. Для рассматриваемой системы полюсные уравнения (3-36) — (3-38) записываются

Таким образом, уравнения системы в форме ветвей можно записать сразу «а основании уравнений отсечений, записанных в виде (3-19) и полюсных уравнений.

(3-113) нелинейные коэффициенты и /(7(67) умножаются на «свои» переменные 62, бз, 'бз и бу. Это не случайность. Действительно, мы выбрали дерево так, чтобы сохранить переменные 02, 63, 6s и б? в уравнениях системы. Кроме того, все матричные операций, которые использовались при выводе уравнений, линейны, так как коэффициенты полюсных уравнений умножались на постоянные числа (О, 1, —1), входящие в матрицы коэффициентов уравнений отсечений и фундаментальных контуров, и складывались.

В рассмотренных выше примерах мы пользовались только линейными матричными операциями, а именно— сложением матриц и умножением матриц коэффициентов полюсных уравнений на матрицы, элементы которых равны 1, —d или 0 (т. е. на матрицы коэффициентов уравнений отсечений и фундаментальных контуров). Следовательно, если коэффициенты полюсных уравнений содержат нелинейности или переменные, то матричные методы подстановок, приводящие к исключению «лишних» переменных, можно использовать и для вывода уравнений нелинейных систем. При этом следует помнить, что для нелинейных систем операция нахождения обратной матрицы исключается. Отсюда следует, что к нелинейным системам можно применять методы ветвей, хорд и ветвей-хорд, но при последнем -методе нельзя искать обратную матрицу, а нужно оставить уравнения в неявном виде, что во многих случаях несущественно.

Из уравнений отсечений

уравнений отсечений