Вероятностных характеристик

При статистическом контроле ТП постоянно приходится сталкиваться с ситуациями, в которых вероятностные характеристики процесса из-за наступившей разладки меняются в случайные моменты времени 0. Важность скорейшего обнаружения такой разладки с целью последующей стабилизации процесса очевидна. Рассмотрим некоторые варианты этой задачи применительно к стохастическому уравнению

Для автоматических технологических объектов, работающих в условиях действия постоянно меняющихся возмущений, соизмеримых с величиной выходной переменной технологического объекта, показатели точности определяются как некоторые вероятностные характеристики выходного сигнала y(t) или ошибки слежения e(t) ( 17.7), например используют среднеквадратиче-ские значения и вероятности попадания в заданную область регулирования и др. Под устойчивостью системы управления понимается ее способность стремиться из различных начальных состояний к некоторому равновесному (стационарному) состоянию. Если условия устойчивости в системе управления производственными или технологическими объектами не выполняются, то система является неработоспособной, так как в этом случае не имеется возможностей качественного выполнения операций. Критерием устойчивости называют математически сформулированные правила, позволяющие по виду дифференциальных или других управлений, описывающих функционирование системы, сделать заключение о ее устойчивости.

Алгоритмы работы моделей участка сборки и монтажа обеспечивают расчет параметров участка при различных режимах: с учетом параллельно-последовательной передачи транспортных партий со станка на станок, с учетом разброса во временах поступлений и сборки изделия, а также при различных вариантах закрепления ячеек склада за стенками, за сборочными единицами или обезличенный вариант закрепления. Для этого при построении программного обеспечения системы проектирования обеспечивается отработка полей управления, которые идентифицируют режимы генерации моделей. Поле управления содержит признаки, определяющие детерминированные или вероятностные характеристики поступления и сборки изделия: режим моделирования с построением циклограмм или без их построения и режим моделирования с последовательной и параллельно-последовательной передачей сборочных единиц.

4.1. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

7.11. Вероятностные характеристики процесса на выходе линейной цепи в переходном режиме можно определить с помощью импульсных характеристик. Для рассматриваемой цепи импульсная характеристика g(/) = ae~°", /^0, где а = Л/?=106 с"1.

4.1. Вероятностные характеристики случайных процессов............................... 52

Марковские процессы с непрерывным временем. Рассмотрим марковский процесс с 5 состояниями, время между переходами которого случайно ( 2.8). Для такого процесса вероятностные характеристики в будущем зависят лишь от того, в каком состоянии система находится в настоящий момент, и не зависят от того, каким образом этот процесс протекал в прошлом. В рассматриваемом случае более важными характеристиками являются не вероятности переходов, а .интенсивности К переходов. Будем считать их в дальнейшем постоянными, и тогда вероятность перехода за бесконечно малый промежуток времени dt равна Kdt. Введенное допущение эквивалентно допущению для марковских цепей, состоящему в том, что вероятности переходов не изменяются во времени. Это наводит на мысль об использовании приведенной выше теории марковских цепей для исследования марковских процессов с непрерывным време-ь нем. Очевидно, что изменится лишь мат- 2.8. Марковский случайный про- рица переходов. Обозначим через Яи ии-цеос с дискретными состояниями и тенсивность перехода процесса из состоя-непрерывным временем ния . в состояние ;- когда ^ (так как

Для оценки надежности невосстанавливаемых объектов используют вероятностные характеристики случайной величины Т — среднего времени наработки до отказа (-математического ожидания наработки объекта до первого отказа). Она может быть описана с помощью широко известных четырех показателей надежности невосстанавливаемых объектов [например, 24]: вероятности безотказной работы на определенном интервале времени, вероятности отказа на этом же интервале времени, плотности распределения вероятности времени до отказа и интенсивности отказа.

6.6.4. Статистическая оценка при частично или полностью неизвестных вероятностных характеристиках помех. Адаптивные и робастные методы оценки. При анализе свойств полезных сигналов и помех в п. 6.6.1 отмечалось, что вероятностные характеристики сигналов и помех могут быть частично или полностью заранее неизвестны или эти свойства изменяются. Поэтому целесообразно выдвинуть треб звание к методам оценки, которое заключается в необходимости устойчивости (робастности) алго-

Для разработки алгоритме^ фильтрации g [г (t)] = Я (t) необходимо учитывать вероятностные характеристики случайных процессов, в то время как при неизменяющихся полезных сигналах х (t) —const достаточно было рассматривать вероятностные характеристики случайных величин (см. гл. 7). В теории случайных процессов [39) сигнал описывается случайной функцией времени г (t), мгновенные значении которой в любые моменты времени являются случайными величинами. Детерминированные сигналы описываются однозначно их функциональными зависимостями or текущего аргумента, а для случайных сигналов описание усложняется. Фиксируя на определенном промежутке времени мгновенные значения случайною процесса, получаем лишь одну реализацию zh (t), где k — номер реализации. Заметим, что каждая конкретная реализация г,, (/) является детерминированной функцией времени. Отдельные реализации отличаются друг от друга, но в соответствии с законом распределения. Случайный процесс выражается через бесконечную совокупность отдельных реализаций ?.h (t), образующих статистический ансамбль {zt (t)\.

Наиболее полной характеристикой полезного сигнала является е'о многомерная плотность распределения, но в некоторых случаях достаточно знать лишь некоторые вероятностные характеристики. Например, при оптимизации параметров линейных фильтров достаточно знать статистические характеристики второго порядка (энергетические спектры, корреляционные функции). Если не ограничиваться классом линейных фильтров, то необходима дополнительная информация. Полезные сигналы х (t) имеют достаточно полное априорное описание, хотя в измерительной практике встают и задачи определения оценок g [z (t)]— x (t) при априорной неопределенности. Относительно помех (f) чаще всего априорные сведения неизвестны, и в данной главе будем пользоваться моделью помех по выражению (6.83) или ее модификациями, а также моделью авторегрессионного процесса. Рассмотрим эту модель подробнее.

Стационарность процесса означает независимость от времени tk вероятностных характеристик отсчетов, т. е. CTS = CT= const; «белость» шума означает вероятностную независимость любых его отсчетов, поэтому совместная многомерная плот-

измерения значений вероятностных характеристик случайных процессов (статистические измерения) [191. Примером таких измерений могут служить измерения математического ожидания случайного процесса X (t), выполняемые в соответствии с уравнением

Результат измерения вследствие объективных причин — всегда случайная величина. Это означает, что погрешность конкретного результата измерения может быть определена только с помощью специального метрологического эксперимента. Очевидно, что на практике определение погрешности каждого отдельного результата измерения не производится. Однако проводя измерения, необходимо быть уверенным, что они удовлетворяют предъявленным требованиям пс точности полученных результа-тэв. Такие требования формир/ются в виде допустимых значений вероятностных характеристик погрешностей, определяемых на ансамбле результатов измерения, 1. е. на бесчисленном множестве результатов измерений, проводимых в установленных условиях.

6.6.4. Статистическая оценка при частично или полностью неизвестных вероятностных характеристиках помех. Адаптивные и робастные методы оценки. При анализе свойств полезных сигналов и помех в п. 6.6.1 отмечалось, что вероятностные характеристики сигналов и помех могут быть частично или полностью заранее неизвестны или эти свойства изменяются. Поэтому целесообразно выдвинуть треб звание к методам оценки, которое заключается в необходимости устойчивости (робастности) алго-

РИТМОБ к изменению вероятностных характеристик помех. Это

Качество робастных оценок, так же как и параметрических оценок, можно характеризовать дисперсией погрешности оценки (6.97). Кроме того, поскольку робастные алгоритмы обладают остойчивостью к малым изменениям вероятностных характеристик пэмех, для них были введены специальные количественные показатели устойчивости — это функция влияния и функция чувствительности [82]. Эти функции позволяют характеризировать чувствительность алгоритма оценки к изменению лишь одного наблюдения, и все-таки они дают количественные характеристики, которые позволяют сравнивать алгоритмы оценки. Функция влияния 1C показывает, что произойдет с оценкой, если к большой выборке наблюдений хг, ..., хп добавить еще одно произвольнее наблюдение х. Пусть F (хъ ..., хп) — функция распределения случайных величин xt, g (хъ ..., хп) — • алгоритм оценки. Влияние нового наблюдения х на оценку g (х) можно характеризовать нормированным пределом

три т] > т<">, где т(л!) — крайний правый член вариационного •>яда измерений. Второе слагаемое в выражении (7.27) экспонен-щально мало при п. •-> оо, и, следовательно, кривая чувствитель-юсти для алгоритма (7.26) асимптотически (при больших п и т) ••.овпадает с кривой чувствительности выборочного среднего, т. е. лот алгоритм также асимптотически неустойчив. Кривую чувствительности для алгоритма (7.!26) при небольших п и ц получить '.атруднительно, а численное моделирование показывает, что для больших т] величина SCn (гц, ..., г\п, т]) « т], но в диапазоне [ — 5(т2. +5о2] алгоритм (7.26) имеет меныл^'ю, по сравнению с алгоритмом выборочного среднего, чувствительность к сбоям. 'Лнтересно также выяснить устойчивость алгоритма (7.26) к изменению дисперсии выбросов а"2 и вероятности сбоя е (ведь известно, ITO Ё — мало, но все-таки оно изменяется). Для этого при рас-гетах по формуле (7.26) будем пользоваться априорными и постоянными значениями е — 0,1 и al = 1, а моделировать случайные величины — с различны viH е и о2. Результаты расчетов средне "о квадратического отклонения (СКО) погрешности оценки '•ю алгоритму (7.26) приведены на 7.4, который позволяет ''.делать вывод о достаточно высокой устойчивости алгоритма к изменению вероятностных характеристик помех.

зованием вероятностных характеристик полезного сигнала и помзх. Известно [391, что лучшей для обеспечения минимальной дисперсии погрешности является оценка на основе условного среднего.

Общий вывод сводится к рекокендации применения робастных алгэритмлов для опенки полезных c^i налов к их характеристик. Рогасткые оценки, конечно, усгупают оптимальным о и СР. как, рассмотренным в § 8.2, но при априорной неопределенное"1-! относительно вероятностных характеристик полезных сигналов и nowex или изменения этих характеристик применение роозстных алгэритмов предпочтительнее.

В СРВ запросы пользователей на обслуживание поступают в случайные моменты времени. Случайными величинами оказываются также требуемое для выполнения программы пользователя время* работы процессора, каналов и других устройств и необходимый объем оперативной и внешней памяти. В процессе функционирования СРВ из-за ограниченности ее ресурсов в системе могут возникать несколько очередей, в том числе: 1) очередь на ввод новых запросов пользователей; 2) очередь к процессору на обработку программ; 3) очередь к каналам связи с периферийными устройствами; 4) очередь на ВЫВОД ИЗ системы результатов обработки программ. Длина очередей, время пребывания запросов и программ в очередях являются случайными величинами, зависящими от параметров вычислительной системы, вероятностных характеристик потока запросов пользователей и их программ, а также от метода планирования работы вычислительной системы.

Расчет случайных процессов в электрических цепях связан с проблемой определения вероятностных характеристик источников возмущений в цепи, например действующих в цепи э. д. с. или изменений параметров цепи, и с проблемой определения вероятностных характеристик токов и напряжений, возникающих в цепи под воздействием этих возмущений.