Вероятности выходного

Плотность вероятности случайного процесса W(x,t) выражает вероятность того, что в момент времени / значение величины х находится в интервале от х до х + dx.

Коэффициент W\(x, t\) называют одномерной плотностью вероятности случайного процесса X(t). Индекс при t\ можно опустить, если Wi задается для любого t.

Для одномерной плотности вероятности случайного процесса правило нормировки записывается аналогично (17.10):

До сих пор мы рассматривали способы математического описания отдельных случайных величин или выборок случайного процесса. Введенные одномерные характеристики дают важные, но не полные сведения об исследуемых явлениях. Так, одномерная плотность вероятности случайного процесса не дает представления о динамике его развития.

Плотность вероятности случайного процесса обозначают W (х, t). Она выражает собой вероятность того, что в момент времени t значение величины х находится в интервале от х до x + dx. Функцией распределения F (х) называют вероятность наступления события, при котором значение величины х, характеризующей это событие, находится в интервале от —оо до х.

Обратимся к рассмотрению ситуации в). Пусть оба процесса s(/) и K.(t) — стационарные, с плотностями вероятности соответственно ^(s) и рг(К) Задача заключается в нахождении плотности вероятности случайного процесса sBbsx(t), являющегося произведением s(t) и K,(t).

ного усреднения) можно трактовать как вероятность попадания х (() в указанный интервал. На такой трактовке основан принцип построения различных приборов, используемых для экспериментального нахождения одномерной плотности вероятности случайного процесса.

Рассмотрим случай 3. Пусть оба процесса s (/) и К (0 стационарные, с плотностями вероятности соответственно р (s) и р (К). Задача заключается в нахождении плотности вероятности случайного процесса SBMX (О, являющегося произведением s (/) и К (/).

Наблюдением можно установить, какое из значений х(х',х" ...) в момент времени t± является наиболее вероятным. Подобно тому как в § 7.3 было введено понятие плотности вероятности случайного события W (х) и о вероятности нахождения х в интервале от х до х + dx можно было судить по величине W (x) dx, вводится понятие о плотности вероятности случайного процесса

Возможны два метода определения вероятности случайного события: классическое и статистическое.

по схеме независимых испытаний. Закон больших чисел (теорема Бернулли) утверждает (см. приложение 4): при неограниченном возрастании числа испытаний вероятность того, что разность между наблюденной относительной частотой некоторого события А (равной т/п, где п — число испытаний, а т — число появлений события) и истинной вероятностью события р будет меньше любого самого малого числа е, стремится к единице, т. е. при достаточно большом числе испытаний вероятность ошибки в замене вероятности случайного события относительной частотой его появления стремится к нулю. Однако бесконечно большое число испытаний недостижимо практически и приходится довольствоваться некоторым большим числом испытаний. При этом ошибка в определении вероятности по относительной частоте события является также случайной величиной, имеющей ту или иную вероятность. Интегральная предельная теорема Муавра —Лапласа позволяет определить вероятность той или иной ошибки. Согласно этой теореме

7.21. Случайный процесс с плотностью вероятности равномерной в пределах от —а до +а (а = 2В) и нормированной корреляционной функцией гвх (т) = ехр (- ос т ), а=104 с~1, подается на интегрирующую цепь с постоянной времени т0 = 1 мс. Оценить характер плотности вероятности выходного процесса.

7.23. Обобщенный телеграфный сигнал, т. е. процесс, принимающий фиксированные значения (±5В) случайным образом ( 7.8) при пуассоновском законе распределения моментов перемен знака (среднее число перемен знака за 1 с равно и), подается на интегрирующую цепь. Изобразить вид плотности вероятности выходного процесса для различных значений постоянной времени цепи: т0 = 0,3/и, т0 = 3/п.

Плотность вероятности выходного процесса определим, применив преобразование Фурье к характеристической функции [8, с. 32]:

11.1. На нелинейный элемент с характеристикой у = ах2, а = 0,2 1/В, действует процесс л :(/) с равномерной в пределах — 1 ... 4- 1В плотностью вероятности. Определить плотность вероятности выходного процесса.

11.8. На нелинейный элемент с характеристикой у = ах2 подается нестационарный процесс вида x(t) = ^(t) + bcosQt, где ?,(?) — стационарный нормальный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и дисперсией а2. Записать выражение для одномерной плотности вероятности выходного процесса.

11.2. Плотность вероятности выходного процесса

11.5. Вследствие симметрии входного распределения и нечетности характеристики ограничителя очевидно, что математическое ожидание выходного процесса равно нулю. Линейной части характеристики ограничителя соответствует усеченное гауссовское распределение в пределах ±Ь, а горизонтальным участкам — дельта-функции с коэффициентами, определяемыми площадями входного распределения при х>а. Таким образом, плотность вероятности выходного процесса

11.12. Пользуясь данными предыдущего примера, найти плотность вероятности выходного напряжения детектора при квадратичной вольт-амперной характеристике диода у = ах2, а = 2 мА/В2.

Необходимо определить правило расчета одномерной плотности вероятности выходного напряжения при произвольном законе распределения случайного напряжения на входе ограничителя.

Поскольку Л,.(/) подчинено нормальному закону с дисперсией (72V флуктуацпопная часть процесса //1Ш*(0, равная А,.(1), также имеет нормальное распределение, а выражение для 'плотности вероятности выходного напряжения имеет вид

5. При каких значениях аргумента (больших плп малых) плотность вероятности выходного напряжения в реальном линейном детекторе, па который действует узкополоспый Гауссов шум, может заметно отклоняться от закона Релея?

Подставляя эти выражения в (11.83) и приравнивая х = s, я г/г — ц = = 5вых/5 ~ /С, приходим к следующему общему выражению для плотности вероятности выходного сигнала: