Вероятности случайной

Параметрическая кривая позволяет определить среднее время (50% вероятности) разрушения при заданном напряжении. В [62] дано уравнение нижней доверительной границы параметрической кривой

^, — коэффициент, определяемый по заданной вероятности разрушения:

В литературе отсутствуют данные по оценке марочных характеристик длительной прочности с учетом вероятности разрушения, т. е. с учетом склонности к рассеянию долговечности исследуемого материала. Восполняя этот пробел, рассмотрим результаты статистической обработки данных испытаний на длительную прочность ряда широко используемых в отечественном энергомашиностроении марок стали [141].

МПа (эта величина обеспечивает по отношению к допускаемым напряжениям коэффициент запаса, равный 1,4), а при вероятности разрушения 5% предел длительной прочности выше до-

лы) экспериментальные точки располагаются выше параметрической кривой средних долговечностей (линии 4 и 5 на 3.27), а кривая металла с пониженным сопротивлением разрушению (феррито-карбидная структура, балл 6, 7) близка к границе 5%-ной вероятности разрушения (линия 8 на 3.27); при а> 100 МПа некоторые точки располагаются даже ниже этой границы, что, вероятно, следует отнести за счет методики испытаний на длительную прочность (постоянная нагрузка, а не напряжение) — разрушению предшествуют значительные деформации, из-за этого происходит уменьшение поперечного сечения образца и соответствующее увеличение истинных напряжений и уменьшение долговечности.

В табл. 2.1 приведены параметры эксплуатации разрушенных гибов с ферритно-карбидной структурой, большая часть этих данных изображена точками на 3.27. Следует отметить, что при значительном разбросе точек большая их часть тяготеет к границе 5%-ной вероятности разрушения и, следовательно, имеется хорошая коррекция между лабораторными испытаниями металла аналогичной структуры (линия 8) и эксплуатационными разрушениями гибов.

Таким образом, все рассмотренные результаты лабораторных испытаний и разрушений гибов в условиях эксплуатации подтвердили состоятельность параметрической диаграммы стали 12Х1МФ и показали, что граница 5%-ной вероятности разрушения позволяет получать оценки допускаемых напряжений в элементах конструкций, изготавливаемых из стали 12X1МФ.

Экспериментальные точки металла с феррито-карбидной структурой тяготеют к границе 5%-ной вероятности разрушения (линия 5 на 3.28). Определенный по средним значениям предела длительной прочности при 540 °С коэффициент запаса превышает 1,5; среднемарочное значение а^ =125 МПа, граница 5%-ной вероятности разрушения дает оценку, превы-

В заключение следует подчеркнуть, что граница 5%-ной вероятности разрушения гарантирует получение оценок допускав-

5( ______ ) — нижняя граница 5%-ной вероятности разрушения;

На 3.29 представлена параметрическая диаграмма длительной прочности стали 15Х1М1ФЛ, на которой изображены кривая среднемарочных значений (линия 5) и граница 5% -ной вероятности разрушения (линия 6). Марочное значение предела длительной прочности при 540 °С равно 100 МПа, а при 565 °С — 78 МПа.

где Wn + m(yti, • • •, ytn', xsi, ..., xsm)—совместная (п-\-т)-мерная плотность вероятности случайных функций y(t) и x(t); wm(xs\, .. ., Xsm)—m-мерная плот-ность вероятности случайной функции x(t).

6.9(УО). Случайная величина X может принимать лишь два значения: х=1 с вероятностью 0.25 и я=1.5 с вероятностью 0.75. Аналогично, случайная величина У, независимая от X, может принимать лишь два значения: у=3 и у=5 с одинаковыми вероятностями 0.5. Найдите плотность вероятности случайной величины Z=X+Y.

6.13(Р). Найдите плотность вероятности случайной величины R — сопротивления параллельного соединения двух резисторов, один из которых имеет фиксированное сопротивление Ro, в то время как сопротивление другого резистора г — случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [R0—a, R0+a], где a
6.25 (Р). Найдите плотность вероятности случайной величины Z, рассмотренной в задаче 6.24.

6.33(Р). Случайная величина X равномерно распределена на отрезке —1/2=ф^1/2. Вычислите плотность вероятности случайной величины Y, каждая реализация которой равна сумме трех независимых реализаций случайной величины X.

Решение. Пусть Ui — случайное мгновенное значение дрейг фа в момент первого наблюдения, a U2 — в момент второго наблюдения (через 50 с). Для решения задачи необходимо знать условный закон распределения (плотность вероятности) случайной величины t/j при условии, что случайная величина V\ приняла определенное значение. Условный закон распределения можно найти из соотношения (см. [3] )

где р(б) — плотность вероятности случайной погрешности б; а — среднее квадратическое отклонение. Как следует из (1.1), при 6 = 0

где w (6) — плотность вероятности случайной погрешности б;

Оценку доверительного интервала и доверительной вероятности случайной погрешности, границ систематической погрешности,, а также суммарной погрешности рассмотрим несколько позже.

Приведенное определение, по сути дела, повторяет определение плотности вероятности случайной величины. Рассмотрим, например, простой случайный опыт. Пусть радиолокатор с дальностью действия от 0 до L км при включении обнаруживает точечную цель, расстояние до которой обозначим xi ( 17.8). Определим вероятность того, что при обнаружении очередной цели расстояние до нее окажется в интервале (л;, х + Ах), если предположить

где W\ (х) — одномерная плотность вероятности случайной величины X *. Вид функции W\ (х) зависит от условий опыта (например, от того, откуда попадают наблюдаемые цели в зону обзора радиолокатора). Если дальность до цели может равновероятно оказаться любой из интервала от 0 до L, то W\ (х) = const. Для численного определения этой константы следует воспользоваться правилом нормировки, по которому сумма вероятностей попадания точки Xi на бесконечно малые отрезки, в целом образующие L, должна быть равна единице (см. § 17.1). Правило нормировки