Вероятностей различных

Величина WF называется энергией или уровнем Ферми. Понятие уровня Ферми играет важную роль в теории полупроводников, поэтому остановимся подробнее на его физическом смысле. Рассмотрим случай, когда уровень Ферми совпадает с энергетическим уровнем W, В этом случае имеет место равенство exp [(W — WP)/kTl = 1 и / = 0,5. Это означает, что при любых" значениях температуры уровень Ферми совпадает с тем энергетическим уровнем, вероятность заполнения которого электроном равна 50% (/ = 0,5).

Важным параметром полупроводника является уровень Ферми, вероятность заполнения которого при температуре, отличной от абсолютного нуля, равна 0,5. Этот уровень представляет собой среднюю термодинамическую энергию тела на один электрон. Фундаментальное положение физики указывает, что уровень Ферми одинаков во всех частях равновесной системы, какой бы разнородной она ни была.

определяющее вероятность того, что рассматриваемый энергетический уровень $ при температуре Т занят дыркой. С формальной точки зрения энергетический уровень Ферми ?р, входящий в выражения (1.4) и (1.5), — это уровень энергии, вероятность заполнения которого электроном при любых значениях температуры равна 0,5, или 50 %.

Резкое изменение тока в переходной области объясняется тем, что заполнение ловушек происходит в соответствии с распределением Ферми — Дирака, имеющим резко выраженный ступенчатый характер. Поэтому переход от одних условий токопрохождения (кривая /) к другим (кривая 2) также происходит резко. Действительно, из 4.5 видно, что при небольшом изменении напряжения на величину At/ квазиуровень Ферми Spn переходит из положения, соответствующего частичному заполнению ловушек, в положение $рп, при котором вероятность заполнения ловушек электронами становится равной единице, так как кривая /я (<§) располагается при этом выше уровня ловушек $л.

определяющее вероятность того, что рассматриваемый энергетический уровень W при температуре Г занят дыркой. С формальной точки зрения., энергетический уровень Ферми Wf, входящий в выражения (3.2) и (3.3), - это уровень энергии, вероятность заполнения которого электроном при любых значениях температуры равна 0,5 или 50%.

6.3. Ширина запрещенной зоны Eg собственного кремния равна 1,12 эВ. Вычислить вероятность заполнения электроном уровня вблизи дна зоны проводимости при температурах 0 и 300 К. Как изменится эта вероятность при указанных температурах, если на полупроводник будет действовать электромагнитное излучение с длинами волн А=0,6 и 2,0 мкм? Считать, что при Г=300 К E—EF практически равно Eg/2.

Здесь по оси абсцисс отложена вероятность Р заполнения электронами соответствующих энергетических уровней. Минимальное значение энергии зоны проводимости обозначено Wa, максимальное значение энергии валентной зоны — Wa. При температуре абсолютного нуля ( — 273 С) все валентные уровни заполнены с вероятностью, равной Р=1, а вероятность заполнения любого уровня зоны проводимости равна нулю. Это показано на 16.3 ломаной линией 1. При комнатной температуре часть валентных электронов переходит в зону проводимости, поэтому вероятность заполнения электронами валентной зоны оказывается несколько меньше единицы, а вероятность заполнения электронами зоны проводимости более нуля (кривая 2). Уровень Ферми располагается посередине запрещенной зоны, а вероятность заполнения этого уровня равна 0,5. Однако поскольку он находится в запрещенной зоне, то практически электроны не могут стабильно находиться на этом уровне.

Прямая 3 на 16.3 характеризует теоретические случаи, когда температура стремится к бесконечности. В этом случае вероятность заполнения любого разрешенного уровня стремится к 0,5.

ложение зон относительно уровня Ферми должно быть строго фиксировано, иначе не будет равновесного состояния концентраций носителей зарядов (см. § 2.2). Г формальной точки зрения потенциал ур соответствует такому потенциальному уровню, вероятность заполнения которого равна 1/2.

rv;e W — энертия данного уровня, (Дж); k — постоянная Больцмана; Т — абсолютная температура; WF — энергия, соответствующая энергетическому уровню, вероятность заполнения которого при Т Ф О К равна 1/2, и называемая уровнем Ферми. При температуре О К ( 16.9) F,,(W) изменяется скачкообразно. Для всех энергетических уровней, лежащих ниже уровня Ферми (W WF), функция Fn(W)=0, т.е. вероятность заполнения эгектронами зоны проводимости (/) равна нулю (электроны в зоне проводимости отсутствуют). Так как на энергетических уровнях в запрещенной зоне электроны располагаться не могут, распределение Ферми — Дирака там несправедливо. При Т =? О К кривая вероятности имеет плавный вид ( 16.9), она симметрична относительно уровня Ферми. Уровень Ферми в собственном полупроводнике при Т = О К проходит почти посередине запрещенной зоны. •• —-— - i\ /Т*OK

В соответствии со статистикой Ферми — Дирака вероятность заполнения энергетического уровня электроном определяется энергией Э, соответствующей этому уровню, и абсолютной температурой Т:

Таким образом, по некоторому воздействию на приемном конце нужно оценить вероятность фактической передачи возможных сигналов. Схема этой задачи для воздействия «cm.приведена на 2.3. Она сводится к определению условных вероятностей различных гипотез о посылке сигналов «сь •••, исп при приеме одного из воздействий Ысш.....Мспп.

Для определения вероятностей различных состояний системы ПВО воспользуемся формулой

В этой же работе Больцман делает расчет вероятностей различных состояний системы и доказывает, что наиболее вероятным состоянием является то, при котором энтропия ее достигает максимума; доказывает, что при всяком взаимодействии реальных газов (диффузия, теплопроводность и т. д.) отдельные молекулы вступают во взаимодействие в согласии с законами теории вероят ностей... и заключает: «Второе начало оказывается, таким образом, вероятностным законом». Отсюда следует, что второе начало, будучи статистическим законом, неприменимо к Вселенной, тела которой движутся не хаотично, а каждое по своим динамическим законам; а кроме того, что второе начало может нарушаться тем чаще, чем меньше частиц в системе и чем меньше их скорости.

Второй этап - вычисление вероятностей различных значений

Третий этап - нахождение вероятностей различных значений дефицитов продукции в каждом из М узлов потребления и других показателей, необходимых для определения искомых ПН.

кретные (разрозненные) значения, например число агрегатов, вышедших аварийно из работы. Это число в ограниченном интервале является конечным. Значения непрерывных случайных величин могут изменяться непрерывно, т. е. даже в ограниченных интервалах такие величины могут иметь бесконечно большое число значений, например— ошибка прогнозирования суммарного спроса мощности. Для дискретных случайных величин распределение вероятностей различных их значений может быть наиболее просто задано с помощью таблиц распределения, в которых в верхней строке указываются все значения, принимаемые данной дискретной случайной величиной, а в нижней — вероятности соответствующих ей значений. Очевидно, что сумма вероятностей должна равняться единице, если данная случайная величина всегда принимает одно из возможных значений.

В энергетике широко применяют случайные величины со следующими распределениями вероятностей: равномерное, простейшее нормальное, общее нормальное, биноминальное, по закону Пуассона. В приложении 3 для них даны формулы функций и плотности распределения вероятностей, а также формулы, определяющие вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Нормальное распределение, как простейшее, так и общее, используют при нахождении вероятностей ошибок прогнозирования нагрузки потребителей энергосистемы, отклонения нагрузки энергосистемы и отдельных ее узлов от средних значений, и т. п. Биноминальное распределение и распределение по закону Пуассона при' меняют при определении вероятностей различных значений аварийных снижений мощности в энергосистеме и аварийного выхода различного числа агрегатов в группе однотипных и т. д. Равномерное распределение служит основой метода статистических испытаний (метод Монте-Карло), применяющегося при определении резерва мощности, отказа в срабатывании автоматики и т. п.

Прежде чем перейти к рассмотрению случайных величин в энергетике, остановимся на методах описания их закономерностей. Случайные величины можно разделить на два класса: дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретная случайная величина может принимать только дискретные (разрозненные) значения, например число агрегатов, вышедших аварийно из работы. Это число в ограниченном интервале является конечным. Значения непрерывных случайных величин могут изменяться непрерывно, т. е. даже в ограниченных интервалах такие величины могут иметь бесконечно большое число значений, например ошибка прогнозирования суммарного спроса мощности. Для дискретных случайных величин распределение вероятностей различных их значений может быть наиболее просто задано с помощью таблиц распределения, в которых в верхней строке указываются все значения, принимаемые данной дискретной случайной величиной, а в нижней — вероятности соответствующих

В энергетике находят широкое применение случайные величины со следующими распределениями вероятностей: равномерное, простейшее нормальное, общее нормальное,,биноминальное, по закону Пуассона. В приложении 2 для них даны формулы функций и плотности распределения вероятностей, а также формулы, определяющие вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Нормальное распределение, как простейшее, так и общее, используется при определении вероятностей ошибок прогнозирования нагрузки потребителей энергосистемы и отклонения нагрузки энергосистемы и отдельных ее узлов от средних значений и т. п. Биноминальное распределение и распределение по закону Пуассона находят применение при определении вероятностей различных значений аварийных снижений мощности в энергосистеме и аварийного выхода различного числа агрегатов в группе однотипных и т. д. Равномерное распределение служит основой метода статистических испытаний (метод Монте-Карло), применяющегося при определении резерва мощности, отказа в срабатывании автоматики и т. п.

Определим м. о. для случайной дискретной величины. Пусть задана таблица вероятностей различных значений случайной дискретной величины:

В случае информации количественного характера переменная величина, характеризующая некоторый процесс, может принимать в любой фиксированный момент времени единственное значение, принадлежащее множеству всех возможных значений. Каждому значению соответствует определенная вероятность его появления. Таким образом, существует некоторая степень неопределенности. Она выражается с помощью энтропии распределения вероятностей различных возможных значений