Векторного потенциала

При расчетах вихревых электромагнитных полей широко используется понятие векторного магнитного потенциала А, вводимого соотношением

Понятия скалярного и векторного магнитных потенциалов с равным успехом применяются при моделировании магнитных полей, хотя реализация граничных условий при использовании этих двух понятий существенно различна. Для решения задач с учетом индуцированных токов понятие векторного магнитного потенциала является вообще единственно приемлемым, и при этом уравнение Пуассона должно быть заменено уравнением теплопроводности.

Для плоскопараллельного поля определение потокосцепления сводится к простым арифметическим операциям, если проводник разделяется на конечное число элементарных площадок, для каждой из которых расчетом поля установлено значение векторного магнитного потенциала.

Основная идея метода конечных разностей состоит в замене непрерывного распределения скалярного или векторного магнитного потенциала дискретным распределением той же самой функции в ограниченном количестве точек рассматриваемой области. Точки по определенному закону распределяются по области решения, т. е. область покрывается координатной сеткой. В методе конечных разностей эта сетка носит регулярный характер. Наиболее используемыми сетками являются прямоугольная или ее частный случай —квадратная и полярная.

При расчетах вихревых электромагнитных полей широко используется понятие векторного магнитного потенциала А, вводимого соотношением

Понятия скалярного и векторного магнитных потенциалов с равным успехом применяются при моделировании магнитных полей, хотя реализация граничных условий при использовании этих двух понятий существенно различна. Для решения задач с учетом индуцированных токов понятие векторного магнитного потенциала является вообще единственно приемлемым, и при этом уравнение Пуассона должно быть заменено аналогичным уравнением теплопроводности.

Для плоскопараллельного поля определение потокосцепления сводится к простым арифметическим операциям, если проводник разделяется на конечное число элементарных площадок, для каждой из которых расчетом поля установлено значение векторного магнитного потенциала.

Основная идея метода конечных разностей состоит в замене непрерывного распределения скалярного или векторного магнитного потен-

На основании изложенного получаем уравнение Пуассона для векторного магнитного потенциала:

где А (Р) — значение векторного магнитного потенциала в точке поля Р; У — объем, в котором рассчитывается электромагнитное поле; ГРМ — расстояние между точками расположения источников поля (тока и заряда) и точками, в которых определяется А и фэ; ЧРЭ (Р) — значение скалярного электрического потенциала в точке поля Р.

В вершинах треугольника i, m, k определяем значений векторного магнитного потенциала:

в котором векторный магнитный потенциал, рассчитываемый с точностью до постоянной, приобретает четкий физический смысл. Циркуляция векторного потенциала по контуру оказывается равной магнитному потоку через поверхность, опирающуюся на этот контур. Важно, что форма поверхности не имеет никакого значе-

Интегрируя тензор натяжения по всем поверхностям, можно перейти к значениям электромагнитных сил и момента. Иногда целесообразно определять электромагнитные силы и моменты из отношения энергии к единице объема dW/dV, равного скалярному произведению плотности тока и векторного потенциала стороннего магнитного поля:

в котором векторный магнитный потенциал, рассчитываемый с точностью до постоянной, приобретает четкий физический смысл. Циркуляция векторного потенциала по контуру оказывается равной магнитному потоку через поверхность, опирающуюся на этот контур. Важно, что форма поверхности не имеет никакого значения и может быть произвольной.

Интегрируя тензор натяжения по всем поверхностям, можно перейти к значениям электромагнитных сил и момента. Иногда целесообразно определять электромагнитные силы и моменты из отношения энергии к единице объема dW/dV , равного скалярному произведению плотности тока и векторного потенциала стороннего магнитного поля:

С учетом выражений коэффициентов значение векторного потенциала внутри треугольника можно у г записать в виде

Количественные оценки электромагнитного поля — это напряженность Е для электрического поля и напряженность Н или индукция В для магнитного поля. В определении этих величин обычно заключается расчет электромагнитного поля. Для большого класса задач расчет магнитного поля существенно упрощается с введением вспомогательных функций — скалярного или векторного потенциала. Это позволяет получать известные дифференциальные уравнения магнитного поля (Пуассона, Лапласа и т. д.) и пользоваться известными методами решения этих уравнений [3, 4, 16, 35, 49, 51, 55].

С помощью векторного потенциала А описываются как потенциальные, так и вихревые поля, удовлетворяющие условию соле-ноидальности. Интеграл векторного магнитного потенциала по любому замкнутому контуру равен магнитному потоку, проходящему через поверхность S, охватываемую этим контуром:ф Adi = Ф.

Значения векторного потенциала определяются из решения (17.22) и являются функцией координат х, у. Так как векторный магнитный потенциал обладает свойствами функции потока, то линии, соединяющие точки с одинаковыми значениями Az, являются магнитными линиями (силовыми линиями магнитного поля). Совокупность линий равного магнитного потенциала, построенных

где Аср — среднее значение векторного потенциала в поперечном сечении активной части стержня.

Однозначность решения дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих с помощью функций скалярного или векторного потенциала магнитные поля, определяется граничными условиями. В качестве граничных условий принимаются значения потенциальной функции, а также ее производные на границах расчетной области. На практике встречаются следующие граничные условия: 1-го рода (условия Дирихле), когда на границах рассматриваемой области имеются только значения функции; 2-го рода (условия Неймана), когда на границах имеются только производные от функции; 3-го рода (смешанные граничные условия), когда на одной части границ задана функция, а на другой — производные от функции. Если на всех границах заданы граничные условия только 1-го или 2-го рода, то они называются однородными.

Согласно (17.24), линии равного векторного и скалярного потенциалов ортогональны; следовательно, для скалярного и векторного потенциалов граничные условия различны. Если для векторного потенциала имеют место граничные условия 1-го рода, то для скалярного потенциала — 2-го рода, и наоборот. Это учитывается при выборе функции, с помощью которой будет проводиться расчет магнитного поля.