Вещественными величинами

где A(s), B(s), C(s), D(s) — полиномы с вещественными коэффициентами, которые не являются функциями элемента схемы PI. Такое представление K(s) справедливо независимо от того, что понимается под pi: сопротивление, емкость, индуктивность, коэффициент усиления какого-либо усилителя или управляемого источника (если этот параметр является частотно-независимым). Из-за наличия билинейной зависимости существует связь между коэффициентами характеристического полинома и элементом pt:

Так как определитель равен сумме произведений всех его элементов вида (8.2), то как числитель, так и знаменатель функции цепи будут полиномами от частоты s с вещественными коэффициентами, деленными на s в некоторой степени. Порядок полиномов будет определяться как числом элементов определителя, так и их степенями. Поясним сказанное на примере простой трех-контурной цепи, питаемой от источника напряжения ( 8.1, а).

Функции (8.4) и (8.5) представлены отношениями полиномов с вещественными коэффициентами, т. е. дробно-рациональными функциями от s. Знаменатели обеих функций одинаковы и имеют два- комплексных сопряженных корня: s1',2 = —1,5 it/0,5, а числители—соответственно КОрНИ «1,2 = —1,5 ± /1/3/2 И Si>2 = — I-

Как видим, модуль и вещественная часть являются четными, а угол и мнимая часть — нечетными функциями частоты. Нетрудно убедиться, что это общее свойство дробно-рациональных функций с вещественными коэффициентами.

1. Входное сопротивление /??С-двухполюсников представляет собой дробно-рациональную функцию вида (8.15) с вещественными коэффициентами, причем степени числителя п и знаменателя т равны друг другу или отличаются на единицу. Это свойство вытекает из того, что Z(p) определяется отношением рациональных функций определителгй Л и Аи. Коэффициенты при р определяются элементами схемы двухполюсника и поэтому являются вещественными. Порядки определителей А и А! ^ не могут отличаться более чом на единицу.

Возникает законный вопрос: всякому ли выражению Z(p) можно сопоставить реальный, т. е. физически осуществимый двухполюсник. Очевидно, если синтезируется реактивный двухполюсник, то функция Z(p) должна отвечать свойствам входного сопротивления реактивных двухполюсников: быть дробно-рациональной с вещественными коэффициентами и степенями числителя и знаменателя, отличающимися не более чем на единицу; нули и полюсы этой функции должны чередоваться на мнимой оси плоскости р. При синтезе RLC-двухполюсников функция Z(p) должна обладать свойствами входного сопротивления этих двухполюсников. Они перечислены в § 8.4.

является дробно-рациональной функцией оператора р с положительными вещественными коэффициентами. Нули этой функции pal 02= ±j^/\/(LC) — мнимые и лежат на мнимой оси комплексной плоскости; полюс pl=0. При замене оператора р оператором у'со переходим к частотной характеристике Z,, (j
4. Квадрат амплитудно-частотной характеристики является четной рациональной функцией переменной со с вещественными коэффициентами. Это свойство с очевидностью вытекает из способа получения квадрата АЧХ по передаточной функции.

Из формул (5. 44). ..(5. 51) следуют основные свойства частотных характеристик цифровых фильтров с вещественными коэффициентами:

любой линейной цепи с сосредоточенными параметрами входное сопротивление в операторной форме Z(p) [или проводимость Y(p)] — это дробно-рациональная функция р с вещественными коэффициентами bh и ah:

Передаточная функция цепей с сосредоточенными параметрами, записанная в операторной форме, выражается отношением двух полиномов переменного р с вещественными коэффициентами:

Для того чтобы оперировать с вещественными величинами, выделим в уравнениях (3.64), (3.65) действительные и мнимые части.

Система (5.59) устойчива, если свободные колебания (5.63) затухают. Следовательно, для устойчивой системы корни р\, р2, ... ..., рп, Phi должны быть либо отрицательными вещественными величинами, либо комплексными числами с отрицательными вещественными частями.

Таким образом, коэффициенты передачи емкостных делителей напряжения и тока являются вещественными величинами* не зависящими от частоты. Поэтому формулы (3.69) можно применять для емкостных делителей постоянного напряжения.

Таким образом, аналогично параметрам (3.69), (3.70) коэффициенты передачи (3.89), (3.90) являются вещественными величинами. В /??-цепях, как и в #С-цепях, коэффициенты передачи получаются комплексными. Например, для /^L-делителей ( 3.21) из формул (3.67), (3.68) находим

(3.120) означают, что при любом резонансе как резонансное сопротивление, так и резонансная проводимость цепи являются диссипативными параметрами, т, е'.. вещественными величинами. При этом резонансное значение полного сопротивления получается минимальным при последовательном резонансе и максимальным при параллельном резонансе.

4.14. Почему в четырехполюсниках связи коэффициенты трансформации во напряжению в режиме холостого хода являются вещественными величинами?

Рассмотренные корни pk полинома F^p) являются вещественными величинами. Соответственно и полюсы спектральной функции S(p) = S(co) называются при этом вещественными полюсами.

в котором оба радикала являются вещественными величинами. Следовательно, характеристическое затухание (8.59) имеет значение

Параметры УЦ, ..., Ksz относятся к любому четырехполюснику; для обозначения параметров усилительных элементов используются строчные буквы z/ц.. .k^,. В общем случае параметры усилительных элементов являются комплексными величинами; эти параметры при достаточно малой частоте, например, в случае транзистора при /4C'/ft2ie=/p допустимо считать постоянными вещественными величинами.

8.34. В LC-четырехполюснике (см. 8.21) L = 5 мГн, С = 1 мкФ. Определить: а) характеристические сопротивления Zcl, ZC2 на частотах со = 10 крад/с и со = 10 х/З'крВД/с; б) диапазон частот со, в котором сопротивления Zci и ZC2 являются вещественными величинами; в) частоты/, при которых эти сопротивления реактивны.

9.6. а) Определить полосу прозрачности полузвена ФНЧ ( 9.6) с параметрами L = 0,1 мГн, С = 64 пФ. б) Определить номинальные характеристические сопротивления этого полузвена _Zc-rl_0,^cnl_0. в) Определить полосу частот, в которэй характеристические сопротивления _Zcj и _Zcn являются вещественными величинами, г) Определить, на какой частоте полузвено может быть согласовано слева и справа с одинаковым сопротивлением R<,, и значение R0. д) Определить частоты, на которых характеристическое затухание полузвена ас = 3 дБ и ас = 10 дБ. е) Определить частоту, на которой характеристическая фаза полузвена Ьс = тг/4. ж) Определить характеристическое затухание полузвена ас (дБ) на нормированных частотах ft =2 и ft = 10. з) Определить характеристическую фазу полузвена на частоте ft =0.5.

В этом выражении для удобства записи слагаемое YksJU6U*k внесено в сумму, причем балансирующему узлу присвоен номер n-f-1. Функция wSk(ii) соответствует небалансу мощности в k-м узле. Для того чтобы оперировать с вещественными величинами, выделим в уравнении (9.85) действительные и мнимые части: