Вариационного исчисления

Для подсчета нормированных значений варьируемых параметров используются формулы пересчета:

деляется лучший вариант решения с позиции всех противоречивых критериев качества. Для оптимизационного расчета асинхронного двигателя предусматривается 25 варьируемых параметров, из которых 15 параметров на входе блока статики: номинальная мощность, внешний диаметр сердечника статора, длина сердечника статора, относительное значение внутреннего диаметра сердечника статора, относительные значения высот пазов статора и ротора (простая клетка или верхняя часть двойной клетки), относительное значение высоты нижнего паза ротора (двойная клетка), относительное значение высоты шлица нижнего паза ротора (двойная клетка), относительное значение ширины или диаметра верха пата статора, относительное значение ширины или диаметра верха паза ротора (простая клетка или верхняя часть двойной), относительное значение ширины или диаметра верха нижнего паза ротора (двойная клетка), отностельное значение ширины или диаметра дна паза статора, относительное значение ширины или диаметра дна паза ротора (простая клетка или верхняя часть двойной), относительное значение ширины или диаметра дна паза ротора (двойная клетка) и индукция в воздушном зазоре.

На входе блока динамики предусмотрено десять варьируемых параметров: сопротивления обмоток статора и ротора, момент инерции вращающихся частей машины.

Одновременно могут варьироваться не более 15 параметров. Эти параметры для каждого конкретного расчета выбираются из общего списка варьируемых параметров, в число которых могут входить размеры сердечников статора и ротора, индукция в воздушном зазоре, размеры станин и щитов и т. д.

Применяемые вычислительные методы позволяют с некоторым приближением определить экстремум целевой функции. Возникающие при этом ошибки можно уменьшить путем минимизации вместо критерия оптимальности некоторых варьируемых параметров двигателя, например длины сердечника. При этом удается уменьшить этот параметр без существенного изменения целевой функции.

Техническое проектирование конкретного изделия практически во всех случаях подразумевает оптимизацию как частных решений, так и объекта проектирования в целом. Общим для задач (принятия оптимальных решений), которые возникают на разных этапах проектирования, является то, что они могут быть сформулированы как задача нелинейной оптимизации: для заданной математической модели проектируемого устройства требуется подобрать такие значения варьируемых параметров, чтобы они обеспечивали экстремальное значение критерия оптимальности при условии, что другие характеристики удовлетворяют заданной совокупности технических требований [9]. Анализ технологического процесса и задач, имеющих место при проектировании ЭМММ, убеждает в справедливости замечания Д. И. Батищева, что «среди численных методов поиска оптимальных решений, которые получили название методов оптимального проектирования (методов оптимизации, методов поиска) , не существует универсального, который позволял бы эффективно решать любую задачу нелинейной оптимизации». Решение каждой задачи оптимального проектирования требует индивидуального подхода (о чем настойчиво и убедительно говорят авторы [1, 9, 11, 20, 34, 63]) и связано с применением нескольких методов поиска оптимального решения; и даже в этом случае успех во многом будет зависеть от квалификации и опыта проектировщика. В связи с этим в разрабатываемых САПР большое внимание уделяется вопросам обеспечения проектировщика средствами оптимизации в интерактивном режиме на всех этапах разработки. При этом он может оперативно менять варьируемые переменные как по составу, так и по диапазонам, выбирать наиболее эффективный в сложившейся ситуации метод поиска, подстраивать численные параметры методов [9] к конкретным особенностям оптимизируемой функции. Для решения задачи оптимального проектирования ЭМММ достаточно теоретических и практических методов, доведенных до программной реализации и рекомендованных для применения в САПР. При наличии достаточно полных теоретических проработок общих вопросов оптимизации и конкретных рекомендаций по типичным частным случаям целесообразно остановиться на алгоритме рационального подхода к оптимизации ЭМММ. Лучше всего его проиллюстрировать на примере бесконтактного поворотного (вращающегося) трансформатора (БВТ), так как для этой машины характерной особенностью является наличие двух элементов с разными критериями частной оптимизации и общие стандартные и конструктивно-технологические ограничения.

Иногда* удобно, пользуясь методами численного интегрирования, получать на каждом шаге интегрирования функциональные зависимости относительных углов роторов генераторов от варьируемых параметров.

Формулировки задач по расчету триггеров на дискретных компонентах и триггеров для интегрального или гибридно-пленочного исполнения отличаются друг от друга. В первом случае, как правило, известны параметры транзисторов, сопротивление и емкость нагрузки, а в результате расчета определяются параметры схемы: величины номиналов резисторов, напряжение питания, быстродействие, потребляемая мощность от источника питания. При расчете триггера в интег. ральном исполнении неизвестными являются параметры транзисторов, от которых зависят их геометрические размеры на кристалле. Чтобы сузить круг варьируемых параметров, при расчете интегральных схем

числа варьируемых параметров п. При т = я сумма обращается в нуль и метод наименьших квадратов вырождается в метод интерполяции.

Наиболее часто в теории электрических цепей, как, впрочем, и в ряде других отраслей техники, применяется метод аппроксимации по Чебышеву. Если аппроксимирующая функция <р (х) колеблется вокруг заданной функции / (х), принимая в некоторых точках значения большие, а в других меньшие, чем заданная функция в этих точках, то важно отклонения сделать наименьшими. Наилучшее приближение получится тогда, когда наибольшее значение ср (х) — f (х) будет минимальным. Задача наилучшего приближения функций была впервые сформулирована и в основном решена П. Л. Чебышевым. Методы определения варьируемых параметров аппроксимирующей функции, чтобы получилось наилучшее приближение к заданной функции, называются методами аппроксимации по Чебышеву, Можно доказать, что если рациональная функция Ф (х), содержащая я варьируемых параметров, аппроксимирует вещественную функцию/ (х) по Чебышеву, то все наибольшие отклонения по абсолютному значению в границах интервала равны и число их равно (я 4- !)•

С целью определения экстремума функционалов (4-56), (4-64) могут быть применены различные методы поиска минимума функции нескольких переменных' сопряженных направлений Пауэлла, случайного поиска, деформированного многогранника и другие 1331. Эффективность применения того или иного метода зависит от многих факторов: порядка математического описания и конфигурации конкретной системы управления, числа варьируемых параметров, вида целевой функции и некоторых других. Поэтому, несмотря на большое разнообразие методов поиска экстремума функции нескольких переменных, можно утверждать, что не

Используя «принцип наименьшего действия» Остроградского—Гамильтона и методы вариационного исчисления Н. А. Тищенко доказал, что при произвольном изменении действующих сил и моментов инерции за переходный период, в слу-

В МКЭ не решается непосредственно уравнение (8.49), вместо этого на основе вариационного исчисления определяется функция А, минимизирующая некоторый функционал, составленный на основе рассмотрения энергетических соотношений магнитного поля, распределенного в области

Очевидно, что может иметься система с оптимальной амплитудно-фазовой характеристикой /Copt (/M)» при которой ошибка минимальна. Решение этой сложнейшей задачи — нахождения ^Copt 0®) при §ср — Emin — было получено Н. Винером методами вариационного исчисления. В наиболее встречающемся, хотя и частном, случае, когда сигнал и шум не коррелированы, а выходной сигнал должен отличаться от входного лишь интенсивностью, оптимальная амплитудно-фазовая характеристика физически осуществимого выделяющего устройства;

Строго это условие можно получить аналитически с использованием методов вариационного исчисления.

Задача определения необходимых условий оптимального распределения нагрузки в системе с ГЭС ранее трактовалась как вариационная, теперь рассмотрим вывод тех же условий при использовании методов принципа максимума Л. С. Понтрягина, являющегося обобщением классического вариационного исчисления на задачи с ограничениями на управления [47].

отличаются от полученных в вариационном исчислении. Вследствие этого для пояснения физического смысла получаемого решения-в дальнейшем будем использовать в основном как наиболее простые-методы вариационного исчисления.

Строго это условие можно получить аналитически с использованием методов вариационного исчисления. Для нахождения минимума

§ 8.11. Вариационные методы и уравнение Эйлера. Одна из задач вариационного исчисления состоит в том, чтобы определить

При оптимальном соотношении режима работы ЭУ и траектб-рии движения ТА можно добиться максимальной экономичности. При некоторых допущениях эту задачу можно решить в самой общей форме методами вариационного исчисления [111].

Для решения таких задач, как известно, подходит аппарат вариационного исчисления.

Для решения поставленных задач классическими методами вариационного исчисления необходимо ввести под знак интеграла производные от независимой переменной х [31]. Это достигается введением функций