Взаимными сопротивлениями

сумму проводимостеи всех ветвей, подсоединенных соответственно к узлам 1 и 2, они называются собственными проводимостями узлов 1 и 2. Проводимости G12 = G21 равны арифметической сумме проводимостеи всех ветвей, включенных между узлами 1 и 2, и называются взаимными проводимостями узлов 1 и 2. Алгебраическую сумму задающих токов /yl и г'у2 источников тока, подключенных соответственно к узлам 1 и 2, называют задающими узловыми токами узлов 1 и 2. Задающие токи источников в алгебраической сумме берутся со знаком « + », если положительное направление задающего тока источника ориентировано к соответствующему узлу, и « — », если от узла. Например, для узлового тока /yl со знаком « + » берется ток /г1, так как ориентирован по направлению к узлу 1, и знак « — » берется для гг2, так как он ориентирован от узла 1 .

Коэффициенты g с разными индексами называют взаимными проводимостями. Так, gkm есть взаимная проводимость k- и т-вет-вей. Взаимная проводимость gkm численно равна току в ft-ветви, возникающему от действия единичной ЭДС в т-ветви1.

с входными и взаимными проводимостями ветвей, которые рассматривались в § 2.15.

I. Определите понятия "электрическая цепь", "электрическая схема", "узел", "устранимый узел", "ветвь", "источник ЭДС" и "источник тока". 2. Как выбирают положительные направления для токов ветвей и как связаны с ними положительные направления напряжений на сопротивлениях? 3. Что понимают под ВАХ? 4. Нарисуйте ВАХ реального источника, источника ЭДС, источника тока, линейного резистора. 5. Сформулируйте закон Ома для участка цени с ЭДС, первый и второй законы Кирхгофа. Запишите в буквенном виде, сколько уравнений следует составлять но первому и сколько по второму закону Кирхгофа. Для двух законов Кирхгофа дайте по две формулировки. 6. Чем следует руководствоваться при выборе контуров, для которых следует составлять уравнения по второму закону Кирхгофа. Почему ни R один из этих контуров не должен входить источник тока? 7. Поясните этапы построения потенциальной диаграммы. 8. В чем отличие напряжения от падения напряжения? 9. Охарактеризуйте основные этапы метода контурных токов (МКТ) и метода узловых потенциалов (МУП). При каком условии число уравнений по МУП меньше числа уравнений по МКТ? 10. Сформулируйте принцип и метод наложения. II. Сформулируйте и докажите теорему компенсации. 12. Запишите и поясните линейные соотношения в электрических цепях. 13. Что понимают под входными и взаимными проводимостями? Как их определяют аналитически и как опытным путем? 14. Покажите, что метод двух узлов есть частный случай МУП. 15. Приведите примеры, показывающие полезность преобразования звезды в треугольник и треугольника в звезду. 16. Сформулируйте теорему компенсации и теорему вариаций. 17. Дайте определение активного двухполюсника, начертите две его схемы замещения, найдите их параметры, перечислите этапы расчета методом эквивалентного генератора. 18. Запишите условие передачи максимальной мощности нагрузке. Каков при этом КПД? 19. Покажите, что если в линейной цепи изменяются сопротивления в каких-то двух ветвях, то три любых тока (напряжения) связаны линейной зависимостью вида z = а + Ьх + су. 20. Выведите формулы преобразования треугольника в звезду, если в ветвях треугольника кроме резисторов имеются и источники ЭДС. 21. В электрической цепи известны токи в двух ветвях k и т (Ik и Iт). Сопротивления в этих ветвях получили приращения A Rk и Д Rm. Полагая известными входные и взаимные проводимости ветвей k, т, г, определите приращения токов к ветвях k, т, г, т. е. A Ik Д /m Д /л. 22. Какие топологические матрицы вы знаете? 23. Запишите уравнения по за конам Кирхгофа с использованием матриц [/4] и [/(,.]. 24. Что понимают под обобщенной ветвью? 25. Выразите токи ветвей через контурные токи и матрицу [K.t]. 26. Выразите напряжения ветвей через потенциалы узлов и матрицу [И]. 27. Выведите уравнения метода узловых потенциалов, используя матрицы [A], [g \ и \А]Т. 28. Выведите уравнения контурных токов, используя матрицы [/С,.], [/?„] и л,.'. 29. Охарактеризуйте сильные и слабые стороны матрично-топологического направления теории цепей. 30. Решите задачи 1.2; 1.7; 1.10; 1.13; 1.20; 1.24; 1.33; 1.40; 1.41; 1.45.

Обратимся к схеме 1.24, которая имеет довольно большое число ветвей (11)и сравнительно небольшое число узлов (4). Если узел 4 мысленно заземлить, т. е. принять Ф4 = 0, то необходимо определить потенциалы только трех узлов: 2,
Проводимости с одинаковыми индексами Gn, 622, ..., GM называются собственными проводимостями 1, 2, ..., «-го узлов. Собственная проводимость узла равна сумме проводимостей ветвей, сходящихся к данному узлу; проводимости с разными индексами Gki (k Ф I) называются взаимными проводимостями между узлами k и /. Взаимная проводимость между узлами равна сумме проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы.

Проводимости Gn и G12 представляют собой арифметическую сумму проводимостей всех ветвей, подсоединенных соответственно к узлам 1 и 2, они называются собственными проводимостями узлов 1 и 2. Проводимости G12 = G2l равны арифметической сумме проводимостей всех ветвей, включенных между узлами 1 и 2, и называются взаимными проводимостями узлов 1 и 2. Алгебраическую сумму задающих токов iyl и iy2 источников тока, подключенных соответственно к узлам 1 и 2, называют задающими узловыми токами узлов 1 и 2. Задающие токи источников в алгебраической сумме берутся со знаком « + », если положительное направление задающего тока источника ориентировано к соответствующему узлу, и « —», если от узла. Например, для узлового тока iyl со знаком « + » берется ток /г1, так как ориентирован по направлению к узлу 1, и знак « —» берется для /г2, так как он ориентирован от узла 1.

Учет слабой заполненности Yy осуществляется алгоритмически очень просто при применении метода Зейделя (или простой итерации). Для этого надо при вычислении (i-\-+ 1)-го приближения напряжения fe-ro узла ^j,'+1) по выражению (9.40) выполнять арифметические действия лишь с не равными нулю взаимными проводимостями узлов. Это легко сделать, используя информацию о топологии сети, т. е. о том, с какими узлами соединен узел \г.

Отсюда вытекает возможная математическая формулировка принципа наложения: токи в ветвях можно разложить на слагающие, которые обусловлены действием каждого из активных параметров этой схемы. В данном случае этими активными параметрами являются задающие токи J и э. д. с. ветвей Ё. Соответствующие слагающие токов в ветвях определяются обобщенными параметрами — коэффициентами распределения токов С и входными и взаимными проводимостями Y ветвей схемы.

Найденные собственные и взаимные проводимости позволяют представить эквивалентную модель преобразуемой подсистемы в виде П-образной схемы замещения ( 3-9). Эта схема является частным случаем схемы многоугольника с диагоналями и нагрузочными сопротивлениями в узлах, к которой в общем случае можно привести схему с известными собственными и взаимными проводимостями ветвей (см. гл. 5). В схеме, показанной на 3-9,

Уравнение (4-84) показывает, что квадратная матрица собственных и взаимных проводимостей ветвей Y^- симметрична относительно главной диагонали. Элементами главной диагонали этой матрицы служат собственные проводимости генераторных ветвей. Остальные элементы являются взаимными проводимостями между ветвями генераторных станций, записанными со знаком минус.

Элементы главной диагонали матрицы Y;j являются собственными проводимостями ветвей, остальные элементы матрицы — взаимными проводимостями.

ветвей, входящих в контуры. Остальные (недиагональные) коэффициенты Rik (i ^= k) являются взаимными сопротивлениями контуров: R69 = R3 = Re!., которые равны суммам сопротивлений ветвей, входящих в контуры / и k. Если направления обхода обоих контуров в общих ветвях совпадают, то Rih приписывается знак «плюс»; при несовпадении направлений обхода — знак «минус». Взаимное сопротивление Rn,, вносимое из контура k в контур i, получается равным взаимному сопротивлению Rki, вносимому из контура i в контур k: Rut — Rki- Подобная симметрия коэффициентов уравнений имеет место для цепей, составленных из пассивных двухполюсных элементов.

содержат в качестве коэффициентов параметры сопротивлений четырехполюсника, или Z-иараметры, и называются уравнениями передачи в Z-параметрах. Параметры Zu, Z,2, Z,, и Z22 имеют размерность сопротивлений. Заметим, что они не являются обратными величинами по отношению к параметрам проводимости, так что, например, Zll^=\/Yll или Z12^\/Y12. He следует также путать эти параметры с собственными и взаимными сопротивлениями контуров Zu, Z12 и т. д. в уравнениях (9.1) для контурных токов.

Величины, обратные собственным проводимостям, называются собственными сопротивлениями, а величины, обратные взаимным проводимостям,—взаимными сопротивлениями*.

4. Из формул (4.28') и (4.34) могут быть получены некоторые общие соотношения между входными и (или) взаимными прово-димостями и между собственными и (или) взаимными сопротивлениями контуров для различных конкретных схем.

1.53р. Для схемы 1.23, а записать два уравнения, связывающие входные ga, gzzи взаимные ?12, gia, ?23 проводимости ветвей с собственными и взаимными сопротивлениями контуров Riit Riz, Rzz-

1.53р. Для схемы 1.23, а записать два уравнения, связывающие входные ga, gzzи взаимные ?12, gia, ?23 проводимости ветвей с собственными и взаимными сопротивлениями контуров Riit Riz, Rzz-

Здесь сопротивления с одинаковыми индексами R\\, Riz, ••-, Rnn,— собственные сопротивления 1, 2, ..., п-го контуров, которые равны сумме сопротивлений всех резисторов, входящих в данный контур. При положительных сопротивлениях собственное сопротивление всегда положительно. Сопротивление с разными индексами Rki (l=?k) называют взаимными сопротивлениями между контурами k и /. Взаимное сопротивление равно сумме сопротивлений резисторов, которые входят как в ?-й, так и в /-и контуры, т. е. они являются общими для этих контуров. Взаимные сопротивления берутся со знаком « + », если контурные токи k-ro и 1-го контуров направлены в этих сопротивлениях одинаково, и со знаком «—», если контурные токи в этих сопротивлениях направлены навстречу друг другу.

В конечном многоугольнике сопротивления сторон и диагоналей являются взаимными сопротивлениями, в обозначениях которых индексы соответствуют нумерации узлов, между которыми включены эти сопротивления. Взаимные проводимости определяются как величины, обратные найденным сопротивлениям. Собственные проводимости ветвей схемы вычисляются следующим образом:

содержат в качестве коэффициентов параметры сопротивлений четырехполюсника, или Z-параметры, и называются уравнениями передачи в Z-параметрах. Параметры Zu, Z12, Z21 и Z22 имеют размерность сопротивлений. Заметим, что они не являются обратными величинами по отношению к параметрам проводимости, так что, например, Z11^l/711 или Z12=#l/^12. He следует также путать эти параметры с собственными и взаимными сопротивлениями контуров Zu, Z12 и т. д. в уравнениях (9.1) для контурных токов.

Связь ветвей взаимными сопротивлениями, не отражаясь графически и не являясь ребром графа, не может пропускать тока.

Таким образом, в общем случае (для схем с взаимными сопротивлениями) независимыми являются или токи в хордах схемы, или напряжения на ветвях дерева. Остальные величины, характеризующие рабочий режим схемы, определяются непосредственно через матрицы инциденций.