Воздействующего напряжения

Пример 1.1. Рассмотрим решение уравнений состояния (1.1), (1.2) в случае, когда воздействующее напряжение постоянно при t^O и u(t) = Uo. При этом

Пример 1.4. Пусть воздействующее напряжение изменяется по экспоненциальному закону u(t)=U0eal. Пользуясь табл. 1.1, найдем изображение ЛПЛ этой функции:

Пример 1.5. Пусть воздействующее напряжение изменяется по линейному закону u(t)=at. Согласно табл. 1.1, изображение ЛПЛ такой функции имеет вид

Пример 1.6. Пусть воздействующее напряжение в /?1-цепи (см. 1.2, а) изменяется по пилообразному закону ( 1.8) с периодом Т=2. Подобная функция относится к классу периодических кусочно-полиномиальных и может быть на отрезках непрерывности описана выражениями вида

Пример 1.7. Пусть воздействующее напряжение в ^L-цепи ( 1.2, а) из-

Пример 1.8. Пусть воздействующее напряжение в ЯС-цепи (см. 1.2,6) описывается функцией

Пример 1.9. Пусть воздействующее напряжение в #С-цепи (см. 1.2,6) описывается функцией согласно 1.11. Подобная функция относится к классу

Пример 1.10. Пусть воздействующее напряжение в Я?-цепи (см. 1.2, а) соответствует функции, изменяющейся по закону согласно 1.12, а. Данная функция относится к классу периодических кусочно-синусоидальных функций и описывается в первом периоде выражением Ui(/)==i/msin(co/-T-n/3), fe[0, T],

Пример 1.11. Пусть воздействующее напряжение в ЯС-цепи (см. 1.2,6) изменяется по закону ( 1.13)

«c(0)=uoc ЛС-цепи, воздействующее напряжение которой изменяется по пилообразному закону ( 1.14). Определим установившуюся составляющую решения, согласно ранее рассмотренной методике, с помощью ЛПЛ. Для этого следует (см. § 1.5):

Рассмотренный пример иллюстрирует трудность выделения из свободных и принужденных составляющих решений уравнений состояния со скачкообразно изменяющимися функциями воздействий установившихся составляющих этих решений. Причем в данном случае такое выделение было облегчено, поскольку рассматривалось уравнение с периодической функцией воздействия u(t) и соответственно с периодической функцией ис . Отметим, что в настоящее время известен целый ряд методов определения установившихся составляющих решений уравнений состояния. Однако практическое их использование усложняется в тех случаях, когда воздействующее напряжение изменяется скачкообразно и в установившихся составляющих появляются соответствующие экспоненциальные члены. Метод же, основанный на использовании ЛПЛ, не чувствителен к подобной особенности воздействий, чем выгодно отличается от других методов.

и ЯС-цепях при отсутствии внешних источников энергии [«(0^0] за счет энергии, запасенной в L- и С-элементах при начальных значениях переменных состояний, равных i0 L и мос. В то же время принужденные составляющие imp, «Спр определяются видом функции воздействующего напряжения u(t), они не зависят от начальных значений переменных состояний. Эти составляющие соответствуют процессам, которые бы протекали в рассматриваемых цепях ( 1.2, а, б) при нулевых начальных значениях (t'oz,=0, Мос=0).

Разделение решений уравнений состояния на две составляющие — преходящую и установившуюся — применимо и в тех случаях, когда функция воздействующего напряжения непериодическая. При этом непериодической оказывается и установившаяся составляющая решений. Поэтому можно обобщить понятие установившегося режима на подобные случаи.

Используя линейные комбинации подобных функций, можно точно аппроксимировать практически любую периодическую функцию воздействующего напряжения u(t).

Отметим, что решения этих алгебраических уравнений IL = = u(t)/R, uc = «(0 практически совпадают с решениями приведенных ранее дифференциальных уравнений вне окрестности t~Q в том случае, когда производная воздействующего напряжения —du(t)/dt ограничена. Так как экспоненты преходящих составляю-

^Таким образом, при моделировании простейших RL- и #С-це-пей с малыми параметрами L и R или С дифференциальными уравнениями необходимо пользоваться только при исследовании быст-ропротекающих процессов, когда г~0. При изучении же процессов вне окрестности ? — 0 влиянием индуктивного элемента L для RL-цепи и резистивного R для ЯС-цепи можно пренебречь, что позволяет использовать более простые математические модели в виде чисто алгебраических уравнений. Этот факт имеет особую ценность для численного решения уравнений состояния. Однако он справедлив лишь при выполнении условия об ограниченности производной воздействующего напряжения цепей. Если напряжение u(t) изменяется в некоторых точках *«=*,, /2,... скачкообразно и, следовательно, имеет в этих точках неограниченную производную, то использовать для описания процессов упрощенные модели в виде чисто алгебраических уравнений можно только вне окрестностей t~th /=1> 2..... При описании процессов в окрестностях этих точек сле-

Анализ полученных выражений свидетельствует о возрастании чувствительности установившихся составляющих решений уравнений состояния к изменению параметра а воздействующего напряжения w(<) = L/oeal в том случае, когда параметр а приближается к значениям соответственно а= — R/L; — \/(RC). Подобное возрастание чувствительности связано с приближением к резонансным решениям — решениям уравнений состояния при совпадении полюсов изображения U(p; t) (в данном примере р = а) воздействующего напряжения u(t) со значениями корней /Ji= — R/L, p2 = — 1/(/?С) характеристических уравнений RL-и ЛС-цепей.

воздействующего напряжения U(p; t) = U0/p не существует в точке р= — R/L = = 0. Найдем степенной ряд:

Ы = ~ ~~RC "c + ~RC "' " (<) = °6 t'*==:~~RC изображение ЛПЛ воздействующего напряжения

последовательной RLC-цепи ( 2.1) при различных видах воздействующего напряжения. Применительно к уравнению (2.6) эта формула имеет вид

Аналогичным образом определяют установившиеся составляющие решений уравнений состояния данной цепи и при других видах воздействующего напряжения.

ции теряют свою компактность и наглядность. Заметим, однако, что, несмотря на усложнение самой схемы и вида воздействующего напряжения, общие решения для х', х" получают одинаково просто, что имеет большое значение. Усложняются формулы для описания единичной переменной состояния. Матричная же форма остается простой. При этом возникает проблема численной обработки выражений, содержащих матричные функции (см. гл. 5). При необходимости получения результата в виде обычных, а не матричных функций интерес представляет возможность достижения результата наиболее рациональным образом, для чего может быть осуществлена, например, замена переменных в уравнениях состояния, обеспечивающая наиболее удобный для использования формул (2.3), (2.4) вид матриц коэффициентов.