Трансцендентное уравнение

Корни таких трансцендентных уравнений удобно находить методом последовательных приближений [5], используя микрокалькулятор. Ориентируясь на график сигнала, выбираем нулевое приближение хо, достаточно близкое к предполагаемому корню. Положим, что ;со=3« Подставляя это значение в ( « ), находим первое приближение

Используя численные методы решения трансцендентных уравнений и вычисления интегралов или табулированные значения интеграла вероятности, находим /гр = 370 Гц.

Малая универсальность АВМ определяется тем, что переход от решения одной задачи к другой связан с изменением структурной схемы модели машины. Сейчас АВМ строятся для решения задач, связанных с интегрированием обыкновенных дифференциальных уравнений, моделированием алгебраических и трансцендентных уравнений, а также для решения уравнений в частных производных. АВМ удобны при исследовании динамических режимов ЭП.

Отметим численные методы, наиболее часто встречающиеся при инженерных расчетах. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений вида f(x)=0 с целью отыскания корней встречается в практике расчетов электромагнитных полей аппаратов, оптимизации их параметров и других задачах. Часто бывает необходимо отыскать действительные корни уравнений. В этом случае наиболее пригодны методы последовательных приближений (итерационные), сводящиеся к последовательному уточнению начального приближения к корню. Для повышения быстроты и точности отыскания корней очень важно правильно задать начальное значение корня XQ. Грубая оценка XQ производится обычно графически. Строится график функции f(x) и определяется точка пересечения его с осью ординат. Для алгебраических уравнений существуют оценки верхней и нижней границ значений корня. Обычно идут от верхней границы к нижней, пока f(x) не изменит знак. Такой поиск должна вести программа для ЦВМ.

При определении действительных корней трансцендентных уравнений изменение аргумента обычно ограничивают главными значениями.

Первый способ основан на применении итерационных методов решения систем алгебраических и трансцендентных уравнений, второй — на интегрировании системы дифференциальных уравнений при отсутствии возбуждения на входах. Первый способ позволяет получить большую точность определения статических выходных параметров. Однако для сходимости итерационного процесса необходимо задавать исходные значения переменных, достаточно близкие к окончательным. Кроме того, при анализе работы схем на предельных частотах переключения расчет начальных условий возможен лишь с использованием второго способа. Поэтому при моделировании переходных процессов с помощью ЭВМ наилучшие результаты получаются при сочетании в программе обоих способов. Например, при расчете статических выходных параметров сначала интегрируют дифференциальные уравнения, а затем результаты интегрирования уточняют. Другой проблемой, которую можно считать в основном решенной, является разработка алгоритмов получения математических моделей схем, т. е. правых частей дифференциальных уравнений. Разработанные алгоритмы позволяют максимально упростить подготовку задачи к решению на ЭВМ.

Однако определение переключательной характеристики при помощи представленных соотношений затруднительно, так как оно связано с решением трансцендентных уравнений. На практике предпочитают несколько другой подход к решению этой задачи. Определив выходной ток как разность токов /к и 1&т:

Число трансцендентных уравнений в общем случае в два раза больше числа учитываемых гармоник, поскольку для каждой из гармоник уравнение разбивается на два уравнения для синусной и косинусной составляющих.

Далее совместно решают систему трансцендентных уравнений. Трудность состоит в том, что каждое из трансцендентных уравнений обычно содержит все неизвестные. Поэтому при решении часто используют метод последовательных приближений. Решение облегчается, если учесть последний абзац § 15.62.

ЭВМ применяют для: а)табулирования решений систем трансцендентных уравнений и систем алгебраических уравнений высоких степеней; б) табулирования решений, выраженных в виде медленно сходящихся рядов; в) интегрирования систем линейных дифференциальных уравнений, к которым сводятся нелинейные дифференциальные уравнения при кусочно-линейной аппроксимации характеристик нелинейных элементов; г) численного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений, в которых ВАХ нелинейных элементов представлены аналитически, а также в некоторых других случаях.

Для сложных нелинейных цепей с источником (источниками) синусоидальной ЭДС основная трудность расчета данным методом заключается в определении постоянных интегрирования, исходя из законов коммутации и времени работы на каждом линейном участке. В сложных цепях неизвестные находят обычно из трансцендентных уравнений, часто применяют ЭВМ. Впервые идея этого метода была высказана русским физиком Н. Д. Папалекси в 1912 г.

3.17. Для нахождения ткор составьте трансцендентное уравнение. Решите это уравнение методом последовательных приближений, используя микрокалькулятор (см. решение задачи 1.1).

8.28. Время установления найдите, численно решив трансцендентное уравнение методом последовательных приближений.

после элементарных преобразований из (8.30) получаем следующее трансцендентное уравнение

8.1. При определении данных, необходимых для построения графиков, нецелесообразно задавать значения напряжения н, так как при этом оказывается необходимым для вычисления тока решать трансцендентное уравнение. Разрешив данное уравнение относительно напряжения и, получим

Трансцендентное уравнение (3.37) имеет множество корней а„, которым соответствует множество значений Lan, 1\п и /2л. Анализ корней этого уравнения показывает, что значения 1\п и /2п быстро уменьшаются с возрастанием п. Поэтому на расстояниях, больших /12 и /22, справедливы решения в виде (3.34) и (3.35/.

Это трансцендентное уравнение с одним неизвестным тт, которое может быть решено приближенно, например методом итерации, что легко осуществить с помощью ЭВМ.

При произвольной форме напряжения и (t) в результате интегрирования в (6.96) можно получить трансцендентное уравнение относительно t. В этом случае для определения времени трогания по (6.96) целесообразно построить график зависимости i (t) и, задаваясь i = = 1тр, по графику найти ?тр. Аналогично можно найти время трога

Трансцендентное уравнение (15.2) служит для определения коэффициента р. Следовательно,

шСК« ; <й'>о>/2 (см. гл.8). При этом i\=uJRH (кривые на 15.39, д, е). Зависимость ыд(ш<) изображена на 15.39, ж. Момент открытия ш/, диода определим из условия ис(ш<1)=е(ш/1). Из этого условия получаем трансцендентное уравнение относительно ш^:

необходимых для определения неизвестных Ym и ф при заданных величинах г, a, Um. В данном случае легко исключается одно из неизвестных; полученное при этом трансцендентное уравнение 0,75 raL^sina(p = = со3со5ф проще всего решить графически.

Последнее трансцендентное уравнение решим графически, перейдя предварительно