Собственными значениями

Налицо некоторая аналогия с собственными колебаниями в ?С-контурах. Подробный анализ показывает, что действительно отрезок линии передачи, обладающий малыми потерями, во многом сходен с колебательным контуром, маятником и т. п. Это сходство может быть отмечено как в свободном, так и в вынужденном режимах. Однако имеют место и принципиальные различия, обусловленные распределенным характером изучаемой системы.

Таким образом, при разряде конденсатора через катушку индуктивности возникают периодические (гармо-нические) колебания с частотой f0=l/T0= l/(2nYLC), которые называются собственными колебаниями контура.

Корни характеристического уравнения называют также частотами собственных колебаний, а соответствующую им свободную составляющую — собственными колебаниями. Для рассматриваемого уравнения (5.1) однородное уравнение и соответствующее ему характеристическое уравнение имеют первый порядок:

Если такую виброизолированную механическую систему вывести каким-либо образом из равновесия или сообщить ей некоторую скорость, то после прекращения действия внешней силы под действием инерционных и упругих сил в ней возникает затухающее колебательное движение. Такие колебания называют свободными собственными колебаниями системы. Количественной мерой этих колебаний является частота свободных колебаний (Гц) или

Собственные частоты колебаний кузовов автомобилей можно ориентировочно разбить на три диапазона; первый диапазон, 2—5 Гц связан с собственными колебаниями подрессоренных масс передней и задней подвески, зависит от загрузки автомобиля и жесткости рессор и не зависит от скорости движения и профиля дороги; второй диапазон, 6—14 Гц обусловлен собственной частотой неподрессоренных масс (передний и задний мост, колеса, рессоры и др.); третий диапазон частот, от 10 Гц до нескольких сотен герц связан с возбуждением колебаний рамы и элементов кузова.

Свободные колебания в одиночном контуре. Колебания, при которых амплитудные значения разности потенциалов и тока остаются неизменными, называют незатухающими. Незатухающие колебания в идеальном контуре после первого заряда конденсатора происходят без внешних воздействий и поэтому называются свободными (или собственными) колебаниями.

Верхняя кривая на 7.23, соответствующая (a/j/p) -> со (скорость изменения частоты р -> 0), представляет собой обычную резонанснук) кривую, снимаемую в стационарном режиме. С уменьшением параметра а//р (с увеличением Р) резонансная кривая «размывается» и становится несимметричной. Кроме того, после прохода частоты
Самовозбудившаяся система не может усиливать подаваемые на её вход электрические сигналы, так как она оказывается загруженной собственными колебаниями. Поэтому для усилительных устройств самовозбуждение недопустимо, и его предотвращение является одной из основных задач проектирования усилителей с обратной связью.

Напряжения и токи, определяемые частным решением уравнений (6.28), обусловлены вынуждающим воздействием источников : e(t), j(t). , Поэтому будем называть их вынужденными напряжениями и токами и обозначать соответственно ыв(0> 4(0- Общее решение уравнений (6.29) дает напряжения и токи, которые существуют в цепи при отсутствии источников e(t\ /(/). Поэтому будем называть их свободными напряжениями и токами. Со вре-менем они должны убывать до нуля за счет потерь в цепи. Если свободные напряжения и токи имеют колебательный характер, то их называют собственными колебаниями цепи. В любой реальной цепи они также убывают во времени до нуля и называются затухающими колебаниями. Будем обозначать решения однородных уравнений Uc(t), 4(0-

' Чтобы поддерживать незатухающие колебания энергии между электрическим и магнитным полями, т. е. получить в контуре синусоидальный ток с неизменной амплитудой, необходимо подводить к контуру энергию, компенсирующую тепловые потери. Сообщение контуру дополнительной энергии должно производиться периодически — в такт с собственными колебаниями контура. Это означает, что в течение каждого периода к контуру необходимо подводить количество энергии, теряемой им в виде тепла. Это можно осуществить, если в цепь колебательного контура включить источник переменного тока с частотой /, равной собственной частоте /0 колебательного контура.

Самовозбудившаяся система не может усиливать подаваемые на её вход электрические сигналы, так как она оказывается загруженной собственными колебаниями. Поэтому для усилительных устройств самовозбуждение недопустимо, и его предотвращение является одной из основных задач проектирования усилителей с обратной связью.

Числа {р„} называют собственными значениями однородной задачи Штурма — Лиувилля. Каждому собственному

Определитель матрицы системы (5.68) является характеристическим полиномом, нули которого, называемые собственными значениями матрицы А, являются частотами собственных колебаний цепи.

Таким образом, при интегрировании явным методом Эйлера уравнений состояния (6.8) с большими по модулю собственными значениями матриц коэффициентов шаг интегрирования по условиям устойчивости должен быть выбран достаточно малым. Такая ситуация возникает, например, при обработке уравнений электрических цепей с малыми постоянными времени, что соответствует большим по модулю вещественным частям собственных значений матриц уравнений состояния. При этом попытка увеличить шаг бо-

* Корни характеристического уравнения рг = —0,228 я р2 = —0,628 совпадают с собственными значениями матрицы (см. гл. 16)

Пусть в частном случае матрица At является диагональной и имеет различные элементы главной диагонали; эти элементы являются собственными значениями матрицы Аь т. е. Ах = diag (Х1; Х2, ..., Кп). Если матрица AJ диагональна, то равенство (Ш.36) эквивалентно п равенствам

Соотношения (П1.38) и (П1.39) , ограничивающие размер шага из условия устойчивости численного интегрирования, нетрудно получить и для недиагональной матрицы At с различными собственными значениями.

Как будет показано далее, в тех случаях, когда движение микрочастицы происходит в ограниченной, области пространства, амплитудное уравнение Шредингера имеет решение только при определенных значениях параметра Е, равных EL ?2 ..... Е„, называемых собственными значениями анергии частицы. Волновые функции ifj, я>2, t>3, ..., отвечающие этим значениям энергии, называются собственными волновыми функциями.

Таким образом, при интегрировании явным методом Эйлера уравнений состояния (*) с большими по модулю собственными значениями матриц коэффициентов шаг интегрирования по условиям устойчивости должен быть выбран достаточно малым. Такая ситуация возникает, например, при обработке уравнений электрических цепей с малыми постоянными времени, что соответствует большим по модулю вещественным частям собственных значений матриц уравнений состояния. При этом попытка увеличить шаг более величины, определяемой его максимальной оценкой, приводит к резкому возрастанию погрешности («взрыву» погрешности) и нарушению адекватности вычисленных значений истинному решению дифференциального уравнения.

как по мере роста t необходимо увеличивать количество слагаемых для сохранения требуемой точности расчета. По этой причине важнейшим требованием организации процесса численного расчета матричной экспоненты является сочетание точности расчета с эффективностью процесса вычисления. В случае матрицы А с очень малыми собственными значениями, соответствующими большим постоянным времени, повышение точности приводит к увеличению времени расчета. Действительно, можно подобрать такой временной шаг h, при ко-

Собственные значения матрицы. Собственными значениями квадратной матрицы А порядка п называются корни характеристического уравнения

где Нг — постоянная часть определяемой выражением (2.1.1) величины V2. Далее, если в (2.1.1) заменить 3Vi и -V\ собственными значениями энергий as и ар, то форма выражения для эффективного гамильтониана совпадает с (2.1.15). Такие собственные значения энергий определяются из условия когерентности потенциала, аналогичного (2.1.13). Здесь для величины as также использовано полуэллиптическое распределение с ядром е° = 3 V\ и шириной* Ws. Заметим, что значение п соответствует кристаллическому состоянию. Предполагается, что величина ер распределена также полуэллиптически с ядром е° = -V\ и шириной Wp. При этом Ws - 3W' = 3W1. На 2.1.4 показаны кривые плотности состояний, рассчитанные для нескольких значений Wi. Ни существенного уширения основного пика, ни заметного его сдвига не наблюдается. В то же время при увеличении до разумных величин значения И/i минимум между двумя побочными максимумами практически исчезает. Из 2.1.2 — 2.1.4 легко видеть, что плотность состояний, рассчитанная для FVj = 1,35 зВ, наилучшим образом удовлетворяет случаю a-Ge. Таким образом, исчезновение минимума связано, по-видимому, с неупорядоченностью величин V\. '