Символическое изображение

§ 2.6. Применение символических изображений........... 57

§ 2.6. Применение символических изображений........... 57

§ 2.6. Применение символических изображений

при этом ':асто получаются громоздкими, так как производятся с уравнением, содержащим функции sin и cos одновременно (обе функции появляются при дифференцировании и интегрировании). Значительное упрощение расчетов получается при использовании символических изображений гармонических составляющих процесса. Символические изображения можно ввести, перенося векторные диаграммы на плоскость комплексных чисел, т. е. используя известгую из математики эквивалентность комплексных величин векторам на плоскости ( 2.14, а). При этом длина вектора, изображающая амплитуду сигнала, соответствует модулю комплексного 1:исла; мгновенные значения рассматриваемой величины, которые при использовании векторных диаграмм соответствовали

Таким оэразом, сущность применения символических изображений заключается в представлении синусоидального (косинусоидаль-ного) процесса мнимой или вещественной частью комплексного числа. Математические преобразования, диктуемые условиями задачи,, выполняются затем над комплексной величиной, символически изображающей действительный процесс. Окончательный результат выражается после преобразования комплексной величины ее вещественной или мнимой частью, в соответствии с первоначальным представлением.

Рассмотрим пределы применимости символических изображений. Очевидно, что при всех математических преобразованиях, где вещественная и мнимая части комплексного числа преобразуются независимо одна от другой, этот метод может быть использован без каких-либо ограничений. Примерами таких математических операций, называемых линейными, являются сложение и вычитание, умножение на постоянную (вещественную) величину, дифференцирование и интегрирование. Действительно, для этих операций, как нетрудно убедиться непосредственной подстановкой комплексных чисел в алгебраическом или показательном виде, имеют место

*) Если одновременно рассматриваются несколько процессов, то перед применением символических изображений псе они приводятся к одной функции (либо sin, либо cos). Это приведение несложно, так как сводится к введению начального фазового сдвига ±л/2.

Практически важным случаем нелинейной операции является введение комплексных изображений для сопротивлений, которое позволит нам ниже указать способ написания уравнений Кирхгофа прямо для символических изображений. Будем называть комплексным изображением сопротивления рассматриваемой цепи величину Z, которая связывает между собой комплексные изображения разности потенциалов и тока, причем эта связь соответствует закону Ома:

(5 2.61 ПРИМЕНЕНИЕ СИМВОЛИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ 61

Простота исследования установившихся процессов в электрических цепях при помощи символических изображений, применение которых позволяет сочетать достоинства, соответствующие аналитическим методам, с наглядностью векторных построений, привела к их чрезвычайно широкому распространению практически во всей специальной литературе.

Все изложение курса в дальнейшем производится с применением символических изображений. Экономия в вычислениях, достигаемая этим, весьма ощутима. Достаточно сравнить нахождение установившегося тока в контуре решением дифференциального уравнения в действительных величинах *) с решением в символических изображениях (§ 3.1).

Символическое изображение резистивного элемента представлено на 1.2, а, где указаны принятые положительные направления напряжения и тока.

Цель курса состоит в том, чтобы дать знания, необходимые для анализа любой линейной цепи произвольной конфигурации с любым конечным числом элементов. Цепь произвольной структуры, которая может содержать любое число элементов и иметь любую конфигурацию, изображают символически в виде прямоугольника — «черного ящика». Последний термин означает, что структура и элементы цепи неизвестны. На 1.10, а показано символическое изображение цепи с п входными и выходными выводами — полюсами, которую называют многополюсной или л-полюсной цепью. Хотя в общем случае может потребоваться определение реакций — токов и напряжений всех ветвей или всех выводов, но часто ставится задача нахождения реакций в ограниченном числе ветвей: в одной, двух ветвях или выводах; во многих случаях на цепь действует один источник сигнала. В указанном частном случае вводят понятие о четырехполюсной и двухполюсной цепях, которые показаны на 1.10, б, б.

Простейший элемент с индуктивной связью представляет четы-рехполюсный элемент, который состоит из двух индуктивных ветвей с коэффициентами самоиндукции LX и Lz, связанных между собой через общий поток взаимной индукции. Магнитную связь обеих ветвей характеризуют коэффициентом Li2 = М = Lzl взаимной индуктивности, измеряемым в генри. Символическое изображение элемента приведено на 9.3, а.

Для изображения зависимых источников на схемах применяют различные символы: в виде обычных независимых источников, когда лишь запись тока или напряжения через управляющую величину указывает на зависимый характер источника, или в виде ромба со стрелкой или знаками «+» и «—» внутри, указывающими на источник тока или напряжения. Второе символическое изображение четко выделяет на схеме зависимый источник и поэтому более предпочтительно. На 9.6 приведены принятые символические изображения четырех типов зависимых источников.

Электронный триод. На 9.10, а показано символическое изображение триода для переменной составляющей сигнала при обычном его включении с общим катодом. Триод представляет трехполюсник с входом — сеткой и выходом — анодом. В режиме малых сигналов ток отрицательно смещенной сетки равен нулю: А = 0, так что на входе схемы 9.8, а ток зависимого источника r/i2k'a = 0 и проводимость уп — 0.

2. Плоскостное символическое изображение кристаллической решетки кристалла кремния:

При синусоидальных напряжении и токе используют их символическое изображение в виде комплексных амплитуд Um, Im или комплексных действующих значений. Если сигнал является несинусоидальным и его спектр занимает определенную полосу частот, то в рассмотрение вводят спектральные плотности напряжения (/О со) и тока /С/со). Заменяя оператор у со на оператор р, легко можно перейти в случае необходимости к операторным изображениям U(p) и 1(р).

§ 8.1. Символическое изображение синусоидальных функций

§ 8.1. Символическое изображение синусоидальных функций . . ....... 132

и будем рассматривать как символическое изображение действительного синусоидального тока t = /m sin (со/ + tyt); оно, так же как и величина i, определяется при заданной частоте со двумя величинами — амплитудой Im и начальной фазой i);. Комплексное число ,Ime'^f называют комплексной амплитудой тока. Вводя знак изображения =, будем писать

В связи с указанными свойствами величины Z символическое изображение сопротивления сложной цепи можно получить из изображений сопротивлений отдельных ветвей по обычным формулам для последовательного и параллельного соединений, хотя формулы для параллельного соединения и содержат нелинейные операции умножения и деления. Поскольку при действиях над величинами Z преобразованию подлежит все комплексное число как целое, а не вещественная или мнимая части по отдельности, не требуется выполнения тождеств типа (2.35). Следовательно, ограничение, касающееся линейности допустимых преобразований, в этом случае отпадает. В частности, все действия, выполняемые при составлении уравнений Кирхгофа, производятся над комплексными изображениями сопротивлений по обычным формулам, встречавшимся