Сходимости итерационного

При решении систем конечно-разностных уравнений методом верхней релаксации возникают трудности в выборе оптимального значения релаксационного параметра Р, обеспечивающего сходимость итерационного процесса за приемлемое число итераций. В линейных задачах расчета стационарных магнитных полей на прямоугольных сетках с числом узлов (р + l)(q + 1) для определения оптимального р используем формулу [3]

При выборе расчетной модели необходимо, чтобы ее границы являлись или силовыми линиями, или линиями симметрии магнитного поля, или линиями раздела сред воздух — железо. Система координат выбирается такой, чтобы форма ячеек сетки обеспечивала наиболее точную аппроксимацию границ расчетной модели. При построении сетки учитываются граничные условия, границы токопроводящих и ферромагнитных областей расчетной модели. Наличие в расчетной модели участков быстрого изменения векторного потенциала может потребовать использования сетки с неравномерным шагом. Уравнения в конечных разностях, полученные с использованием закона полного тока в интегральной форме, требуют, чтобы линии сетки ограничивали расчетную модель. В противном случае для расчета векторных потенциалов в узлах вблизи границ, не совпадающих с линиями сетки, потребуются уравнения в конечных разностях в другой форме записи [3, 4], что затруднит составление программы и может отрицательно повлиять на сходимость итерационного процесса. При построении сетки необходимо учитывать, что с увеличением узлов точность расчетов возрастает в меньшей степени, чем затраты машинного времени. Поэтому удобно начинать расчеты поля на сетке с крупным шагом, постепенно уменьшая его до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность расчетов. Для проведения расчетов на сетке с числом узлов (т-п) в памяти ЦВМ необходимо отвести место для хранения следующей информации:

и коэффициенту d- Сходимость итерационного процесса считаем обеспеченной, если достигается одновременное выполнение условий ДЛ<0,5-10-*и 0,995 < d < 1,005. Без корректировки магнитной проницаемости такая сходимость обычно обеспечивается для стационарных полей за 80—120 итераций, для переменных — за 120—180 итераций. При расчете полей с учетом насыщения маг-нитопровода необходимое количество итераций возрастает на 15— 20%.

При ручном счете желательно как можно точнее определить начальное значение потенциалов внутри области, так как при сложной форме области сходимость итерационного процесса иногда бывает очень медленной.

2. Метод Ньютона. Уравнения узловых напряжений установившихся режимов ЭС часто целесообразно решать интераци-онным методом Ньютона. Его преимущество заключается в том, что решение получается при меньшем числе итераций. Сходимость итерационного процесса обеспечена при определении режимов, предельных по статической устойчивости [3.9].

Сходимость итерационного процесса контролируется при сравнении небалансов тока с заданной точностью расчета е:

Сходимость итерационного процесса при решении полученной системы можно определить так, как показано в § 2.20.

заметить, что схема вычисления и условия сходимости итерационного процесса для точек с и d остаются соответственно такими же, как и для точек а и Ь. При этом сходимость итерационного процесса в точке d проходит медленнее, чем в точке Ь, так как отношение

Наиболее целесообразен этот метод в тех случаях, когда нелинейные элементы соединены с общим узлом. Потенциал этого узла принимают равным нулю. Напряжения на нелинейных элементах по абсолютной величине могут быть значительно больше, чем напряжения на других элементах. При последующих приближениях, когда производится уточнение тока в каждом нелинейном элементе, изменение тока получается сравнительно небольшим, а следовательно, сходимость итерационного процесса достаточно быстрой. Любой из этих токов в расчете используют как задающий.

векторов, позволяет понизить до (р х р) порядок решаемой задачи на собственные значения на каждом шаге (3.64) с матрицами — проекциями [К] / (3.61) и [М] j (3.63), требуя лишь одной при этом факторизации матрицы жесткости [К]. Кроме того, идея одновременного использования для вычисления р первых частот и форм k > р векторов дает возможность уменьшить параметр г, характеризующий асимптотическую скорость сходимости /-и формы {U}'j О'-*00), ca>?/Wp+1 до co?/w+1 и приводит к существенному выигрышу при to/t +1 > сор+1, k ~р - соотношениях, характерных для неплотных участков спектра собственных частот. Предложенная в [47] методика определения оптимальной величины k = min (2p,p + 8) обеспечивает сходимость итерационного процесса (3.60) —(3.65) не более чем за 8 циклов итераций. Для рассматриваемых в данной главе и главе 6 расчетных случаев хорошие результаты достигались уже на третьей-четвертой итерациях. Действительное число итераций зависит и от того, насколько начальное приближение [О] 0 близко к матрице, содержащей собственные векторы [Q] = [Q] „ .

Классический алгоритм метода квазивариационных неравенств состоит в том, что при фиксированном ат итерации по а„ проводятся до достижения сходимости [29]. Отсюда следует применимость другого варианта двойственности, рассмотренная выше для контактных задач без трения. Здесь также учет кинематических граничных условий, наряду со статическими, ускоряет сходимость итерационного поиска границы площадки контакта и участков сцепления и проскальзывания.

3. Вычисляем Х(1'0 по формуле (10.9), проверяем условие сходимости итерационного процесса, и если оно не выполняется, переходим к п. 1 с новым начальным условием и т. д. Последняя итерация алгоритма (10.9) позволяет найти значение вектора начальных условий.

многих матричных элементов, они самокорректирующиеся, что минимизирует ошибки округления. Для решения систем конечно-разностных уравнений широко используется метод последовательных смещений (метод Гаусса — Зейделя). Для ускорения сходимости итерационного процесса при решении уравнений в конечных разностях методом Либмана вводится релаксационный параметр р [3, 4, 35].

Эффективный метод ускорения сходимости итерационного процесса — применение закона полного тока в интегральной форме. Практическая реализация такого ускорения рассматривается в примере расчета магнитного поля в пазу электрической машины (см. § 19.5).

При расчете переменных магнитных полей использовалось уравнение (19.34), а при расчете стационарных магнитных полей — (19.37). Для ускорения сходимости итерационного процесса производилась автоматическая корректировка релаксационного параметра р и использовался закон полного тока в интегральной форме. Для любого замкнутого контура / расчетной области справедлив закон полного тока (19.10). Однако после первых итераций он может не выполняться:

После первых итераций С4 > 1. Для стабилизации сходимости итерационного процесса целесообразно ограничить значение коэффициента d- Например, в программе расчета можно предусмотреть условие: если d > 2,5, то С, = 2,5 и d = 0,5d + 0,5. После каждой итерации в области, ограниченной контуром интегрирования (/ = 2 -т- 18; k — 2 -г- 25), проводится корректировка векторных потенциалов по их действительной части AI(J, К) = = d^i(/> k). Такая корректировка векторных потенциалов, основанная на перемножении, называется мультипликативной.

При сходимости итерационного процесса мнимая часть комплексного числа Z (19.57) стремится к нулю, так как /П2 = 0. Для ускорения этого процесса можно использовать следующий алгоритм. После каждой итерации определяем ДС = 0 — Za и приращение для мнимой части векторных потенциалов:

Первый способ основан на применении итерационных методов решения систем алгебраических и трансцендентных уравнений, второй — на интегрировании системы дифференциальных уравнений при отсутствии возбуждения на входах. Первый способ позволяет получить большую точность определения статических выходных параметров. Однако для сходимости итерационного процесса необходимо задавать исходные значения переменных, достаточно близкие к окончательным. Кроме того, при анализе работы схем на предельных частотах переключения расчет начальных условий возможен лишь с использованием второго способа. Поэтому при моделировании переходных процессов с помощью ЭВМ наилучшие результаты получаются при сочетании в программе обоих способов. Например, при расчете статических выходных параметров сначала интегрируют дифференциальные уравнения, а затем результаты интегрирования уточняют. Другой проблемой, которую можно считать в основном решенной, является разработка алгоритмов получения математических моделей схем, т. е. правых частей дифференциальных уравнений. Разработанные алгоритмы позволяют максимально упростить подготовку задачи к решению на ЭВМ.

Итерационными (приближенными) методами называются такие, которые позволяют получить решения лишь с заданной точностью в результате выполнения повторяющихся однотипных расчетов (итераций) [3.9]. Число итераций заранее не известно. Оно зависит от скорости сходимости итерационного метода и принятых исходных приближений переменных.

В процессе расчета по признакам KPR2=1, KPR3=1 выдается промежуточная информация, по которой можно судить о сходимости итерационного процесса расчета установившегося режима.

сходимости итерационного процесса результат не начнет практически повторяться.

Если нелинейное сопротивление Rz (72) с увеличением тока убывает, a R3 (78) — возрастает, можно показать, что для обеспечения сходимости итерационного процесса из этой системы уравнений надо найти ток 73 = — /л и напряжение 1/2 = /?2/в = Я2/а, выразив их через все постоянные заданные величины и нелинейные сопротивления #2 и #8. Результаты расчетов целесообразно вносить в табл. 4.1, из которой видны последовательность и способ получения отдельных величин.