Свободное колебание

Алгебраическая сумма принужденной и свободной составляющих тока или напряжения дает выражение для их действительных значений во время переходного процесса:

В первой части курса (см. гл. 14) было показано, что расчет переходных процессов в линейных электрических цепях заключается в решении линейных дифференциальных уравнений, описывающих исследуемые процессы. Реакция линейной цепи находится как сумма принужденной и свободной составляющих. В случае синусоидальной воздействующей функции принужденная (установившаяся) составляющая реакции цепи имеет частоту воздействующей функции.

Первое выражение означает представление решения в виде суммы установившейся и свободной составляющих; роль последней

3) находим переходный ток из равенства ' (7.3) как сумму принужденной и свободной составляющих тока:

В общем случае переходный ток состоит из принужденной и свободной составляющих: i=inp+i0B.

Изменение угла отклонения подвижной части а в а (/) во времени условно можно представить как сумму вынужденной и свободной составляющих, первая из которых отслеживает закон изменения вращающего момента, вторая — характеризует переходный процесс. Переходный процесс полностью определяется частотой собственных

В первой части курса (см. гл. 14) было показано, что расчет переходных процессов в линейных электрических цепях заключается в решении линейных дифференциальных уравнений, описывающих исследуемые процессы. Реакция линейной цепи находится как сумма принужденной и свободной составляющих. В случае синусоидальной, воздейству-

1. На основании законов Кирхгофа составляют дифференциальные уравнения токов и напряжений по числу неизвестных величин. Затем, решая эту систему уравнений, приходят к одному дифферен- г? циальному уравнению с одной не-известной величиной. Полученное уравнение либо решают классическим методом, считая искомую величину состоящей из вынужденной и свободной составляющих, либо переходят к операционному изображению полученного уравнения и изображению искомой ве-

Сумма принужденной и свободной составляющих t" + i" = i представляет собой искомую величину, в данном примере ток; она называется переходной.

При включении цепи с активным сопротивлением г и индуктивностью L под переменное напряжение и ( 9-14), как и при включении под постоянное напряжение, ток в цепи не сразу становится установившимся. Сначала возникает (и теоретически длится бесконечно долго) переходный процесс, когда ток можно представить состоящим из установившейся и свободной составляющих i -= (уст 4- i'CB. Установившийся ток существует в цепи, когда переходный процесс закончится (теоретически при t — со) и свободный ТОР: станет равным нулю. В цепях постоянного тока установившийся ток постоянный. В цепях переменного тока установившийся ток синусоидальный. Закон изменения свободного тока определяется только схемой цепи и ее параметрами (т = L/r), а не видом приложенного напряжения. Поэтому закон изменения свободного тока в рассматриваемой цепи остается тем же, что и при включении цепи с г и L под постоянное напряжение.

Изменение угла отклонения подвижной части a = a (t) во времени условно можно представить как сумму вынужденной и свободной составляющих, первая из которых отслеживает закон изменения вращающего момента, вторая — характеризует переходный процесс. Переходный процесс полностью определяется частотой собственных

Здесь сосв = I/cop — «8 — частота свободных колебаний, а ср = = arctg(co0 — Юр) т — фазовый сдвиг (в стационарном режиме). Первое слагаемое в (7.23) определяет стационарное, а второе — свободное колебание.

Начиная с момента t = Т, после прекращения действия внешней э. д. с., остается одно лишь свободное колебание, которое может быть представлено в форме

Рассмотрим теперь явления в цепи в конце импульса, начиная с момента t — Т, где Т — длительность Ая импульса. Ясно, что после прекращения действия внешней силы в системе может существовать только свободное колебание. Структура этого колебания легко может быть выявлена, если прекращение импульса рассматривать как результат включения в момент t — Т новой э. д. с., компенсирующей э. д. с. сигнала. Для этой компенсирующей э. д. с. решение имеет такой же вид, как и (7.45), но отличается только знаком, который должен быть обратным знаку правой части выражения (7.45), и сдвигом начала отсчета времени из нуля в точку t = Т.

где cti(t) — свободное колебание, связанное е выключением в момент t — О «старой» э. д. с. (частоты G>J); az(f) — нарастающее колебание, обусловленное включением «новой» э. д. с. (частоты о)2).

Тогда при обозначениях, принятых в § 7.4, и в соответствии со вторым слагаемым в выражении (7.37), при замене постоянного коэффициента — К <>Ef на Q, можно свободное колебание представить следующим образом:

Заметим, что свободное колебание здесь взято со знаком плюс, поскольку речь идет не о включении новой, а о прекращении действия старой э. д. с. Косинус заменен на синус ввиду съема напряжения с емкости, входящей в последовательный контур. Кроме того, следует иметь в виду, что для частоты щ, которая ниже резонансной частоты контура, ток в контуре опережает по фазе э. д. с. и угол ф! является отрицательным, т. е.

Как видно из выражения (10.13), ток в контуре представляет собой свободное колебание. Этого и следовало ожидать, так как на рассматриваемую систему не действует никакой внешней вынуждающей силы. Изменение огибающей тока IL зависит от знака коэффициента при первой производной в уравнении (10.12). Если <хэ > О, амплитуда колебания тока IL затухает ( 10.9, а), если аэ < 0, амплитуда колебания тока растет ( 10.9, б). Рассмотрим подробнее выражение для аэ. При М = 0, т. е. в отсутствие обратной связи, коэффициент затухания положителен и определяется сопротивлением потерь контура г и сопротивлением, учитывающим шунтирующее действие лампы:

Приведем теперь другой пример, поясняющий явление нормализации в узкополосной системе. Пусть на контур воздействует непрерывное колебание с постоянной амплитудой и с частотой, модулированной по пилообразному закону со случайным периодом. Закон изменения мгновенной частоты со(г') изображен на 15.4. При каждом пробеге частоты через полосу прозрачности контура 2Да)0 в последнем возникает свободное колебание, амплитуда которого обратно пропорциональная наклону «пилы» (см. § 7.11). Так как моменты пересечения полосы прозрачности расположены на оси времени случайным образом, то и свободные колебания образуют импульсную последовательность со случайными интервалами.

где сосв = сор— а« — частота свободных колебаний, а ф = = arctg (о)0 — (Ор) тк — фазовый сдвиг (в стационарном режиме). Первое слагаемое в (6.44) определяет стационарное, а второе — свободное колебание.

Начиная с момента t = Т, после прекращения действия внешней э. д. с., остается лишь свободное колебание, которое можно представить в форме

где а'х (О — свободное колебание, связанное с выключением в момент t = 0 старой э. д. с. (частоты coj; аг (t) — нарастающее колебание, обусловленное включением новой э, д. с. (частоты <о8).