Свободных неизвестных

начальных условий на процесс свободных колебаний в распределенной цепи (сравните с гл. 7). Для этого необходимо располагать функциями u(z, 0) и i(z, 0), которые описывают начальные распределения напряжения и тока при / = 0.

Из закона сохранения заряда следует, что стационарное распределение тока в линии должно быть непрерывно всюду, в том числе и в точке источника. Во всех точках, свободных от источников, комплексная амплитуда тока удовлетворяет уравнению свободных колебаний

Представление свободных колебаний в резонаторе в виде суммы отдельных мод гораздо большее, чем просто математический прием для решения волнового уравнения с заданными условиями на концах. Дело в том, что каждая мода является простейшим, элементарным видом волнового движения в рассматриваемой системе, не сводимым ни. к какой комбинации других мод. Зная характе-

Подобная система описывается краевой задачей Штурма — Ли-увилля, причем отличие ее от аналогичной задачи из § 8.1 состоит только в ином характере краевых условий, но не в самом уравнении. Поэтому можно ожидать, что введенные здесь усложнения не скажутся на характере свободных колебаний. Так, наша система, оставаясь линейной, будет обладать бесконечной последовательностью (спектром) собственных функций; развитие процессов во времени по-прежнему описывается гармоническими функциями. Од-

Запас устойчивости определяет скорость затухания свободных колебаний, соответствующих ближайшим к оси /со корням: чем больше запас устойчивости, тем скорее затухают свободные колебания. Для определения запаса устойчивости используется так называемое смещенное уравнение [14]. Пусть характеристический полином имеет вид

Т/4 (Т = 2n"/LC — период свободных колебаний в контуре), вся энергия магнитного поля катушки (за вычетом потерь в активном сопротивлении) превратится в энергию электрического поля конденсатора.

Резонанс токов. Можно так подобрать емкость конденсатора, что реактивные токи IL и /с будут равны по величине. Общий ток в этом случае равен активному току и совпадает по фазе с напряжением, т.е. /=/а, <р — =0°. Такое состояние цепи называется резонансом токов ( 56). При резонансе токов по цепи между источником ЭДС и потребителем будет протекать только активный ток, поэтому величина общего тока будет минимальной. Реактивная мощность Q = i//p будет колебаться на участке цепи только между катушкой и конденсатором, между которыми будет происходить обмен энергией с частотой свободных колебаний в контуре

Если такую виброизолированную механическую систему вывести каким-либо образом из равновесия или сообщить ей некоторую скорость, то после прекращения действия внешней силы под действием инерционных и упругих сил в ней возникает затухающее колебательное движение. Такие колебания называют свободными собственными колебаниями системы. Количественной мерой этих колебаний является частота свободных колебаний (Гц) или

где h — коэффициент демпфирования; К—коэффициент жесткости амортизатора с линейной характеристикой. В случае сухого трения /i = (i7Vsgnx, где ц — коэффициент трения; N—нормальная к поверхности сила; sgn — знак, означающий, что сила направлена противоположно скорости движения (для сухого трения) или противоположно направлению перемещения (для вязкого трения). В случае вязкого трения h = xsgnx\ в случае нелинейного демпфирования с использованием вязкой жидкости /z = i2sgnx, т. е. пропорционален квадрату скорости и противоположен перемещению. Иногда применяют амортизаторы с нелинейной характеристикой, особенностью которых является зависимость частоты их свободных колебаний от амплитуды.

сосн = д/еОц - 82 - частота свободных колебаний,

Тсв =----- - период свободных колебаний,

Неизвестные х\, ..., xh, через которые выражены базисные неизвестные Xk+\, ..., хп, называются свободными неизвестными. Решение системы (4.51), получаемое путем приравнивания свободных неизвестных нулю, называется базисным. Запишем базисное решение для системы (4.51):

В качестве свободных неизвестных выберем х\ и х2. Форма FI и неизвестные хз, Хц, xs, Xs уже выражены через свободные неизвестные.

Поскольку все величины Хг должны быть, неотрицательны, примем наименьшие возможные значения свободных неизвестных равными нулю. При этом несвободные (базисные) неизвестные окажутся равными:

При найденном решении (4.53) форма F\ имеет значение F\ = = 0. Мы приняли значения свободных неизвестных х\ и х2 равными нулю, но этот выбор, вообще говоря, ничем не оправдан. Посмотрим, нельзя ли за счет увеличения значений х\ и х2 достигнуть уменьшения формы F\.

Заметим, что каждому выбору свободных неизвестных отвечает свое базисное решение. Нас интересуют только допустимые базисные решения (т. е. базисные решения из неотрицательных значений переменных). Нетрудно видеть, что решение (4.53) системы (4.52) является, согласно определению, допустимым базисным. Для системы (4.55) допустимым базисным решением является решение (4.54). При этом форма /?1 = — 25.

Проводя аналогичные рассуждения и выбирая в качестве свободных неизвестных х3 и лг4, получим:

При таком выборе свободных неизвестных допустимым базисным решением оказывается:

Базисное решение, соответствующее данному выбору свободных неизвестных, таково:

Предположим, что при указанном выборе свободных неизвестных полученное решение (4.63) является допустимым. Это означает, что свободные 'члены в уравнениях системы (4.61) 3i, ..., рг неотрицательны. Форма F при этом решении равна -уо-

Рассмотрим те из свободных неизвестных, которые входят в выражение (4.65) формы F с положительными коэффициентами у,. Выберем из них какую-либо одну, например Xj. Если теперь сохранить за всеми свободными неизвестными, кроме Xj, нулевые значения, a Xj увеличивать, то форма F будет уменьшаться (см. пример, приведенный выше). Переменную Xj можно увеличивать до тех пор, пока не обратится в нуль какая-либо из базисных неизвестных Xk±i, ..., хп. Найдем значение Xj, при котором это произойдет, Если принять в системе (4.64) все свободные неизвестные, кроме Xj, равными нулю, то получим:

Найдем далее неизвестную Xj из числа свободных и сделаем ее базисной, а вместо Xj в число свободных введем бывшую базисную неизвестную xh+i- Выразим новый набор Xk+i, ..., Xh+i-i, Xj, Xh+i+i, —, xn базисных неизвестных через новый набор х\, ..., KJ-\, xh+i, Xj+i, ..., xh свободных неизвестных. Найдем Xj из z'-ro уравнения системы (4.64) :