Свободные неизвестные

Так принято называть линию, у которой поперечная конфигурация проводников неизменна по длине, а параметры заполняющей среды, такие как относительная диэлектрическая проницаемость е и относительная магнитная проницаемость \л, постоянны в пространстве. Будем вначале полагать, что источники, создающие токи и напряжения в линии, находятся вне рассматриваемой области пространства. В этом смысле можно говорить о том, что будут изучаться свободные колебания распределенных систем.

Изучая нестационарные процессы в линиях передачи, можно заметить, что в подобных системах возможны собственные колебания, связанные не с наличием внешних источников, а лишь с существованием некоторого запаса энергии, первоначально сообщенной системе. Представим себе отрезок регулярной линии без потерь, на концах которого имеются нагрузки, не поглощающие энергию. Если осуществить произвольное возбуждение такой системы, например, подав на нее короткий импульс, то этот импульс будет многократно отражен от концов линии, так что с течением времени картина токов и напряжений не будет повторять первоначальную. Тем не менее отсутствие омических потерь обеспечивает сохранение полной запасенной энергии и поэтому колебательный процесс будет длиться сколь угодно долго. В системе с потерями свободные Колебания со временем затухнут, однако общая картина явления, основанная на многократных отражениях, останется качественно неизменной.

* Возникновение его связано с именами Д. Бернулли (XVIII в.), изучившим свободные колебания закрепленной струны, и Ж. Б. Фурье, применившего этот метод для анализа процесса распространения тепла.

Запас устойчивости определяет скорость затухания свободных колебаний, соответствующих ближайшим к оси /со корням: чем больше запас устойчивости, тем скорее затухают свободные колебания. Для определения запаса устойчивости используется так называемое смещенное уравнение [14]. Пусть характеристический полином имеет вид

в левой полуплоскости, называются асимптотически устойчивыми. В асимптотически устойчивой цепи свободные колебания, определяемые частотами собственных колебаний (корнями характеристического уравнения), при t-*-oo затухают. Для обеспечения затухания необходимо, чтобы вещественные корни и вещественные части комплексных корней были отрицательными.

при t-*-oo должны затухать и обращаться в нуль. В предельном случае равенства нулю вещественных частей у некоторых простых (некратных) корней характеристического уравнения свободные колебания (импульсные характеристики) будут ограниченными функциями при /->со. В случае корней кратности т появятся множители t"1-1 перед экспонентами или косинусами — колебания будут неограниченно нарастать.

Устойчивость цепи в свободном или, как иногда говорят, автономном (без внешнего воздействия) режиме определяют следующим образом: цепь устойчива (в смысле А. М. Ляпунова), если при любых начальных условиях в момент t —10 свободные колебания или импульсные характеристик и остаются ограниченными в интервале t0^t<.aj.

Цепь асимптотически устойчива, если она устойчива по Ляпунову, и, кроме того, свободные колебания обращаются в нуль при t->oo.

В отличие от пассивной линейной цепи, составленной из пассивных элементов с постоянными параметрами, которая всегда устойчива, активная цепь при некоторых условиях может стать неустойчивой — часть полюсов функции цепи может оказаться в правой полуплоскости — свободные колебания будут неограниченно нарастать (при сохранении линейной модели).

Свободные колебания ротора обусловлены самой природой СМ, так как она при работе параллельно с сетью представляет собой колебательную систему. Физическую картину свободных колебаний рассмотрим с помощью статической угловой характеристики, представленной на 14.5,а. При постоянной частоте вращения

§ 14.8. Вынужденные и свободные колебания

В качестве свободных неизвестных выберем х\ и х2. Форма FI и неизвестные хз, Хц, xs, Xs уже выражены через свободные неизвестные.

В выражение для FI обе свободные неизвестные входят с отрицательными коэффициентами. Поэтому увеличение любой из них вызывает уменьшение формы FI. Начнем, например, увеличивать х2 (#1 = 0 не меняем). Желательно было бы'увеличивать х2 , неограниченно, поскольку форма при этом продолжала бы уменьшаться. Однако, увеличение свободной неизвестной х2 вызывает

Сопоставим решения (4.53) и (4.54) между собой. В каждом из них по две неизвестные имеют значения, равные нулю: в решении (4.54) нулевое значение имеют неизвестные х\ и KS, а в решении (4.53) —х\ и xz. Посмотрим, как будет выглядеть форма FI, если за свободные неизвестные принять не х\ и х2, а к\ и х5, т. е. те неизвестные, которые имеют в новом решении . нулевые значения.

Примем теперь за свободные неизвестные х3 и xs. Выразим» через них форму FI и базисные неизвестные. Получим:

Свободные неизвестные лг3 и А:4 входят в выражение для формы FI с положительными коэффициентами. Если их увеличивать, то форма будет также увеличиваться. Следовательно, базисное решение (4.60) и является оптимальным. Наименьшее значение

Предположим, что система (4.44) содержит г независимых линейных уравнений. Всегда можно занумеровать неизвестные так, чтобы свободными (&=«• — г) оказались первые неизвестные *i, ..:, хъ.. Выражая базисные неизвестные Xk+i, ..., хп и форму F через свободные неизвестные, получим:

При работе по симплекс-методу необходимо всегда записывать систему ограничений и минимизирующую форму в виде уравнений (4.64) и (4.65). При такой записи перед всей группой слагаемых, содержащих свободные неизвестные, выставляется общий знак минус.

Рассмотрим те из свободных неизвестных, которые входят в выражение (4.65) формы F с положительными коэффициентами у,. Выберем из них какую-либо одну, например Xj. Если теперь сохранить за всеми свободными неизвестными, кроме Xj, нулевые значения, a Xj увеличивать, то форма F будет уменьшаться (см. пример, приведенный выше). Переменную Xj можно увеличивать до тех пор, пока не обратится в нуль какая-либо из базисных неизвестных Xk±i, ..., хп. Найдем значение Xj, при котором это произойдет, Если принять в системе (4.64) все свободные неизвестные, кроме Xj, равными нулю, то получим:

Чтобы выразить остальные новые базисные неизвестные через новые свободные неизвестные, подставим выражение Xj в уравнения системы (4.64). При этом коэффициенты всех уравнений системы будут изменяться однотипно. Проследим эти изменения на /-м уравнении системы (4.64) :

Полагая новые свободные неизвестные равными нулю, найдем новое базисное решение и соответствующее ему значение формы F:

Свободные неизвестные