Разностным уравнением

Равенства (1.1) и (1.3) могут быть эквивалентно представлены следующей системой разностных уравнений:

Решая систему разностных уравнений методом z-преобразования, получаем компоненты вектора финальных вероятностей в следующем виде:

ется конечно-разностными уравнениями, образующими систему. Порядок системы определяется количеством внутренних узлов сетки. Решение уравнения электромагнитного поля сводится к решению системы конечно-разностных уравнений. Предположим, что независимая величина, например координата х центрального узла ( 19.1), получит малое конечное приращение Ал: = а. Соответствующее приращение потенциальной функции ср называется разностью первого порядка или первой разностью функции:

В задачах расчета магнитных полей используют сетки, содержащие сотни узлов. Такой же порядок, равный числу внутренних узлов сетки, имеют системы конечно-разностных уравнений. Для решения систем уравнений используют прямые и итерационные методы. Выбор прямых или итерационных методов зависит от вида матрицы. Матрицы системы конечно-разностных уравнений являются редкими, т. е. содержат большое количество нулевых элементов. Для таких матриц прямые методы решения, например метод исключения Гаусса, нецелесообразны, так как для своей реализации требуют хранения в памяти ЦВМ большого количества матричных элементов, что может оказаться выше возможностей некоторых ЦВМ. Прямые методы находят применение в основном для решения систем уравнений с плотными матрицами.

многих матричных элементов, они самокорректирующиеся, что минимизирует ошибки округления. Для решения систем конечно-разностных уравнений широко используется метод последовательных смещений (метод Гаусса — Зейделя). Для ускорения сходимости итерационного процесса при решении уравнений в конечных разностях методом Либмана вводится релаксационный параметр р [3, 4, 35].

При замене производных конечно-разностными отношениями на границах раздела сред с разными магнитными характеристиками необходимо предусмотреть выполнение граничных условий (17.35) и (17.36). Различия в магнитных и электрических характеристиках сред для одной и той же расчетной области приводят к различию конечно-разностных уравнений, что затрудняет их совместное решение. Эти недостатки автоматически устраняются, если для получения конечно-разностного уравнения использовать закон полного тока в интегральной форме. Уравнению (17.31) соответствует запись закона полного тока в интегральной форме:

При решении систем конечно-разностных уравнений методом верхней релаксации возникают трудности в выборе оптимального значения релаксационного параметра Р, обеспечивающего сходимость итерационного процесса за приемлемое число итераций. В линейных задачах расчета стационарных магнитных полей на прямоугольных сетках с числом узлов (р + l)(q + 1) для определения оптимального р используем формулу [3]

симировать по-разному. Как показывает анализ, решения не всех форм разностных уравнений соответствуют решению исходного дифференциального уравнения. Для того чтобы соблюдалось соответствие, разностная схема должна быть консервативной, т. е. в ней должен выполняться закон сохранения энергии.

в котором коэффициенты аг, ЬГ одновременно не равны нулю, a r^n-^N. При этом значения xn = x(tn), приближенно описывающие xn = x(tn), определяют как решения неявных алгебраических уравнений последовательно точка за точкой. Процесс вычисления таблицы с помощью разностных уравнений называют численным интегрированием (численным решением) дифференциального уравнения. Уравнение (6.2) называют методом численного интегрирования (разностной схемой). Число г соответствует порядку разностного уравнения, который определяет число дополнительных начальных условий, необходимых для однозначного решения уравнения (6.1). Совокупность начальных условий XQ, х\, ..., хг-\ для уравнения (6.2) называют началом таблицы, а способ вычисления значений х\, ..., XT-\~ стартовым алгоритмом. Отметим, что при г=1 метод численного интегрирования называют одношаговым, а при г>1 — многошаговым.

Важной проблемой при численном интегрировании уравнений состояния является выбор шага дискретизации. Выбор большого шага нарушает адекватность разностных уравнений решаемым дифференциальным уравнениям, что приводит к бессмысленному результату. Если же шаг выбран слишком малым, то расчет ведется с большими затратами машинного времени, а накопление ошибок округления приводит к существенному искажению решения. Поэтому программные реализации численных методов интегрирования должны включать процедуру выбора шага, автоматически учитывающую особенности каждого решаемого уравнения состояния. Причем для создания эффективных и надежных программ численного интегрирования требуются такие процедуры, которые при минимальных вычислительных затратах обеспечивают выбор шага дискретизации, близкого к оптимальному. Применительно к реализации классических методов интегрирования подобным требованиям отвечают алгоритмы выбора шага, основанные на правиле Рунге, позволяющем оценить погрешность численного решения дифференциальных уравнений.

в) численное решение полученных систем разностных уравнений.

второго порядка описываются разностным уравнением yi = у i-i — 0.5у,_2.

12.31. Алгоритм работы заданного дискретного фильтра описывается разностным уравнением sBIJK(kT) = s(kT) — s[_(k—l)T']. Схема фильтра представлена на 12.16. Найти импульсную характеристику фильтра gt (kT).

12.36. Найти импульсную характеристику рекурсивного фильтра заданного разностным уравнением sB^(kT} = s(kT) + b1sm>i хПАг-ПГ], />,<1. Построить структурную схему фильтра.

12.50. Алгоритм работы трансверсального фильтра описывается разностным уравнением sB^(k)-Q,5s(k)+s(k— 1)+ 0,55 (/с -2).

12.51. Найти и построить АЧХ трансверсального фильтра, алгоритм работы которого описывается разностным уравнением

Здесь Л>0 — некоторая малая величина, называемая шагом интегрирования или шагом дискретности (дискретизации) таблицы. Выбор этой величины должен обеспечивать возможность аппроксимации точек x(tn) =x(t0 + nh), л = 0, 1, 2, ..., N, N = T/h такой функцией, которая воспроизводила бы все особенности исследуемого процесса x(t) с достаточной для практики точностью. Для вычисления значений x(t0 + nh) дифференциальное уравнение (6.1) заменяют алгебраическим, называемым разностным уравнением вида

При численном интегрировании дифференциальное уравнение (6.8) заменяют разностным уравнением, устойчивость которого зависит уже не только от спектра матрицы А, но и от параметров разностной схемы. Для оценки устойчивости разностных схем расще-

Заметим, что в отличие от ранее рассмотренных классических методов интегрирования, основанных на упрощенных способах вычисления соответствующих экспонент (см. § 6.3), в системных методах используются высокоточные способы расчета этих функций. Поэтому такие методы интегрирования по сути являются численно-аналитическими методами решения уравнений состояния. Разностное уравнение системного метода xn+I = xn + Ojvf (х„, tn) обладает формальным сходством с разностным уравнением явного метода Эйлера xn+i— xn-}-<'?f (хп, /„).При этом роль шага h играет матрица Ф^(^п). Используя другие методы аппроксимации функции f(x, /), можно получить аналоги и других классических методов интегрирования, например неявный системный метод (хп+1 = х« + Ф.лД (х„+ь соответствующий неявному методу Эйлера (хп+1 =

1. Для АР (р)-процесса АКФ выражается разностным уравнением, которое аналогично уравнению, описывающему сам процесс (8.2):

Пример 5.7. Требуется построить микропрограмму, реализующую цифровой фильтр 2-го порядка, описываемый разностным уравнением следующего вида:

Если описать систему разностным уравнением Л?-го порядка y(n)—a1y(n — l) — ...—a.My(n—N) = = Ь0х(п) + Ьгх(п— 1) + ... + Ъмх(п—М) (10.55)