Полуплоскости комплексного

Итак, как полюсы так и нули сопротивления устойчивого линейного двухполюсника не должны располагаться в правой полуплоскости комплексной частоты р. Так как коэффициенты многочленов, входящих в числитель и знаменатель формулы (9.5), представляют собой вещественные числа, то особые точки сопротивления всегда либо вещественны, либо образуют комплексно-сопряженные пары. Графически особые точки любых функций цепи отображают на так называемой карте нулей и полюсов; обычно полюс изображают звездочкой, а нуль — кружком.

Чтобы понять физический смысл процесса, описываемого выражением (7.43), следует преобразовать эту формулу. Заметим, что в правой полуплоскости комплексной частоты р, которая соответствует значениям t>0, модуль величины ехр ( — 2рг) не превосходит единицы, так что по аналогии со степенным рядом

2. Полюсы передаточной функции располагаются в левой полуплоскости комплексной переменной р. На расположение нулей ограничений нет.

Половина полюсов функции Нр(Р)Нр(—р) лежит в левой полуплоскости комплексной переменной р и может быть отнесена к передаточной функции реализуемого фильтра Нр(р). Другая половина полюсов, являясь зеркальным отражением первой, располагается в правой полуплоскости и относится к Нр(—р).

Величины Z10 (p), Z20 (p), Zllt (p) имеют и полюсы и нули только в левой полуплоскости комплексной переменной р. Их нули находятся только слева от оси мнимых. Это вытекает из следующих соображений закон Ома в операторной форме, например при подаче напряжения на первичные зажимы при холостом ходе, имеет вид

териэуюш,8;« быстродействие системы Чтобы решение однородного дифференциального уравнения (4-GO) являлось экстремалью для. функционала (4-58), весовые коэффициенты v необходимо выбрить следующим обра.чом. Составите дифференциальное уравнение, аналогичное (4-60), но для корней, расположенных Е правой полуплоскости комплексной переменной р:

Отсюда следует, что сформулированные выше условия отрицательности действительных частей корней равносильны следующему положению: для устойчивости цепи необходимо, чтобы передаточная функция К (р) не имела полюсов в правой полуплоскости комплексной переменной р.

Таким образом, полюсы передаточной функции реальной цепи могут располагаться только в левой полуплоскости комплексной переменной p = tr + jco. На нули передаточной функции не накладывается такого ограничения. Поэтому они могут находиться в любой части комплексной плоскости.

В силу взаимозаменяемости указанных величин полюсы сопротивления являются нулями проводимости и наоборот. Поэтому как полюсы, так и нули Z(p) и Y(p) могут располагаться только в левой полуплоскости комплексной переменной р — CT + JGJ.

^ Необходимо знать критерии устойчивости, т.е. условия, при соблюдении которых четырехполюсник не самовозбуждается. Один из критериев вытекает из свойств характеристического уравнения (6.33) рассматриваемого четырехполюсника. Если он не самовозбуждается, то и собственные колебания четырехполюсника затухают. В § 6.2.2 было показано, что для этого характеристический полином должен быть полиномом Гурвица. Таким образом, четырехполюсник с обратной связью является устойчивым, если корни его характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости комплексной переменной р = о + ]ш. Это условие называют критерием устойчивости Гурвица.

В §6.1.3 было показано, что передаточные функции (6.14) реальных пассивных цепей имеют полюсы только в левой полуплоскости комплексной частоты p = 0 + jo>. В противном случае возбужденные в цепи свободные колебания не затухали бы. Однако в активных четырехполюсниках с обратной связью собственные колебания могут не затухать, что соответствует неустойчивому режиму его работы, т. е. режиму генерации. Поэтому четырехполюсник с обратной связью является устойчивым, если полином F.z(p) в его передаточной функции (8.96) является полиномом Гурвица.

3. Нули и полюсы входного сопротивления лежат в левой полуплоскости комплексного переменного р. Это свойство нуждается в доказательстве. Пусть для определенности через входные зажимы двухполюсника протекает ток i(t) = 8(t). Его изображение по Лапласу 1(р)—\. Изображение напряжения на зажимах двухполюсника U (р) = 1 (р) Z (р) = Z (р) численно равно входному сопротивлению. Поэтому можно записать

\ из е —>• 0 следовало т —*• 0. Это условие соблюдается для класса финитных функций [81]. В этом случае задача восстановления сигнала корректна, так как небольшим изменениям выходного сигнала соответствуют небольшие изменения восстановленного зходнсго. Поэтому, рассматривая способы коррекции динами-геских характеристик СИ, полагаем, что СИ обладает такими ха-эактеристиками, при которых финитный спектр входного сиг-шла полностью находится в полосе частот пропускания СИ, j все высокочастотные составляющие входного сигнала, которые, «к правило, создаются источниками помех, отфильтрованы Кроме того, известно, что в идеальном СИ \ G (/со) = /СНОм — = const, ф (ai) --— ---t3a). В таком СИ передаточная функция '-'ном (s) не имеет нулей в правой полуплоскости комплексного •геременного s, т. е. GHOM (s) является передаточной функцией минимально-фазового типа. Для нее, если G (/to) = /Сном --= const, то ФЧХ может быть получена из G (/и) посредством •треобразования Гильберта- [8(13; она не вызывает необратимых {скажений измеряемого сигнала.

Второе двойство величин Z (р) и Y (р), отмеченное в § 10-6, заключается в том, что их полюсы и нули располагаются только в левой полуплоскости комплексного оператора р = о + /со (комплексной частош) или на оси мнимых, т. е. ak ^c 0, причем в случае oft = о полюсы и нули простые. При этом все коэффициенты полиномов от р i стоящих в числителе и в знаменателе рациональных дробей, выражающих Z (р) и Y (р), положительны. Действительно, разложив полином на множители:

(так же, как и токи и напряжения в операторной форме — см-, гл. 12, т. 1). Поэтому сопротивление Z (р) и проводимость Y(p) = l/Z(p) вещественные при вещественном значении переменного р. Степени т и п числителя и знаменателя не могут отличаться больше, чем на 1. При подключении пассивного двухполюсника к источнику э. д. с. Э (р) переходный процесс [например, ток I(p)=9(p)/Z(p)] должен затухать, т. е. корни уравнения W(p)=0 или нули Z (р) и полюсы Y (р) должны лежать на левой полуплоскости комплексного р. При подключении двухполюсника к источнику тока J(р) переходный процесс [например, напряжение U(p)=J(p)IY(p)] должен также затухать, т. е. нули У (р) и полюсы Z(p) или корни уравнения V(p) =0 должны лежать на левой полупло-

Чтобы судить об устойчивости усилителя с ОС, необходимо решить характеристическое уравнение и установить знаки его корней. Однако решение уравнений четвертого порядка и выше вызывает затруднения. В то же время теория линейных дифференциальных уравнений позволяет косвенным путем определить условия, при которых корни характеристического уравнения будут находиться в левой полуплоскости комплексного переменного.

Можно поэтому сформулировать следующее важное положение: однозначное соответствие между амплитудной и фазовой характеристиками имеется только у четырехполюсников, коэффициент передачи которых Щр) не имеет нулей в правой полуплоскости комплексного переменного р — о + ш.

A. Для полюсов: а) все полюсы Z12, К12"и Ки = Т12 должны находиться в левой полуплоскости комплексного переменного/?; б) ни один из полюсов функции передачи Ti2(p) не может находиться в нуле или бесконечности; в) полюсы Z12(p) и Fi2(p) на мнимой оси могут быть только простыми с вещественными вычетами; г) полюсы Т12(р) на мнимой оси простые с мнимыми вычетами; д) Z (р) - и Y (р)-параметры удовлетворяют условию вычетов во всех полюсах на мнимой оси /со. '

Второе свойство величин Z(p) и Y(p), отмеченное в § 10.6, заключается в том, что их полюсы и нули располагаются только в левой полуплоскости комплексного оператора р = a +j(o (комплексной частоты) или на оси мнимых, т. е. ак < 0, причем в случае ак = 0 полюсы и нули простые. При этом все коэффициенты полиномов отр, стоящих в числителе и в знаменателе рациональных дробей, выра-

3. Нули и полюсы входного сопротивления лежат в левой полуплоскости комплексного переменного р. Это свойство нуждается в доказательстве. Пусть для определенности через входные зажимы двухполюсника протекает ток i(t) = S(t). Его изображение по Лапласу /(/?) = 1. Изображение напряжения на зажимах двухполюсника U (p) = I{p)Z(p) = Z(p) численно равно входному сопротивлению. Поэтому можно записать

Уравнения нулей, полюсов и основных точек всегда являются алгебраическими уравнениями с действительными коэффициентами, все корни которых могут быть только действительными или комплексно-сопряженными. Поэтому на плоскости комплексного переменного р = з-\-}ш нули и полюса передаточной функции, начальные и предельные точки всегда расположены симметрично относительно действительной оси. Это позволяет при графическом изображении геометрического места корней строить его только для верхней полуплоскости комплексного переменного р.