Представления характеристик

2.2. СПОСОБЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Наиболее распространенными являются представления гармонических колебаний с помощью комплексных чисел. Эти представления лежат в основе символического метода расчета электрических цепей— метода комплексных амплитуд. Представим ток i, определяемый формулой (2.6), на комплексной плоскости. Для этого изобразим вектор /т на комплексной плоскости с учетом начальной фазы ср ( 2.4, а). Знаком « + >> обозначено положительное направление вещественной оси, ау = ч/—1—положительное направление мнимой оси. Будем вращать этот вектор в положительном направлении (против часовой стрелки) с угловой частотой со. Тогда в любой момент времени положение вращающегося вектора определится комплексной величиной (комплексным гармоническим колебанием):

Возможна и другая форма представления гармонических колебаний на комплексной плоскости. Учтем, что согласно формулам Эйлера

2.2. Способы представления гармонических колебаний ................................. 39

Можно ли выразить эту операцию, пользуясь комплексами? Да, но только при условии тождественного представления гармонических функций через комплексы:

Из теории комплексного представления, гармонических функций (см. § 4-2) ясно, что

1. Символический метод. Для представления гармонических колебаний в комплексной форме введем понятие операторов поворота векторов.

2.2. СПОСОБЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Наиболее распространенными являются представления гармонических колебаний с помощью комплексных чисел. Эти представления лежат в основе символического метода расчета электрических цепей — метода комплексных амплитуд. Представим ток i, определяемый формулой (2.6), на комплексной плоскости. Для этого изобразим вектор 1т на комплексной плоскости с учетом начальной фазы ф ( 2.4, а). Знаком « + » обозначено положительное направление вещественной оси, ау = у/ — 1—положительное направление мнимой оси. Будем вращать этот вектор в положительном направлении (против часовой стрелки) с угловой частотой со. Тогда в любой момент времени положение вращающегося вектора определится комплексной величиной (комплексным гармоническим колебанием):

Возможна и другая форма представления гармонических колебаний на комплексной плоскости. Учтем, что согласно формулам Эйлера

2.2. Способы представления гармонических колебаний ................................. 39

Ядром интеграла обращения служит 'функция exp(/cof)i ис~ пользуемая для представления гармонических колебаний. Таким-образом, естественно интерпретировать функцию Х(/со) как амплитудный спектр для x(t), дающий меру вклада в x(t) гармоник с угловыми частотами между со и co + dco. Вообще говоря,, Х(/со)—комплексное число, и отношение между его действительной и мнимой частями характеризует фазу гармонической составляющей на угловой частоте оз.

Для аналитического представления характеристик используют параболическую аппроксимацию Е ~"^1^0 + Ь^1ъ0 + с^,- характеристики холостого хода на необходимом интервале.

В гл. 9 рассматривались методы аппроксимации, используемые в линейных цепях. Те же методы могут быть, по сути, использованы и для представления характеристик нелинейных цепей. Отличие будет состоять в выборе аналитических зависимостей, так как аппроксимации подлежат функции совершенно другого класса (в частности, ВАХ, а не АЧХ, ФЧХ и временные).

При Цг->°° и уг-^-°° (фиксация Nai на предельных значениях) получаем следующую форму представления характеристик qHa(Na) с. учетом (6.11):

В технике широкое распространение получили способы представления характеристик относительно простыми функциями, лишь приближенно отображающими истинные характерстики. Замена истинной характеристики приближенно представляющей ее функцией называет-зя аппроксимацией характеристики.

В технике широкое распространение получили способы представления характеристик относительно простыми функциями, лишь приближенно отображающими истинные характеристики. Замена истинной характеристики приближенно представляющей ее функцией называется аппроксимацией характеристики.

чины (*) опущен. Для представления характеристик в абсолютных единицах (что иногда требуется) нужно знать {/„, Ф^тх и Ffmx (или //тх), тогда ? = ?*f/H;O = Ф*Ф/Я«; F = F«,F//flx; /,. = FJfmx. Определение тока возбуждения If (или F/m) в нагрузочном режиме, заданном через U, I и ф, производится теперь так, как показано.на 55-4. Последовательность графических операций указана цифрами /—11. Начать следует с построения по (55-21) диаграммы напряжений и определения результирующей ЭДС взаимной индукции Ёг (1) и равного ей в относительных единицах

При численном расчете нелинейных цепей существенным является способ представления характеристик нелинейных элементов, оказывающих влияние на точность и свойства решения. Применение таких методов аппроксимации нелинейных характеристик, как методы Лагранжа и Ньютона, не приводит к увеличению точности при росте числа точек, когда находят коэффициенты полинома, описывающего нелинейную характеристику во всем диапазоне изменения аргумента. Лучшие результаты можно получить при разбиении нелинейной характеристики на участки с ее последующей аппроксимацией на участках.

Среди приближенных аналитических методов следует выделить метод медленно меняющихся амплитуд, метод приближенного аналитического выражения характеристик нелинейных элементов, метод кусочно-линейного выражения характеристик нелинейных элементов. При использовании метода приближенного аналитического представления характеристик успех в значительной мере зависит от удачного выбора формулы для приближенного описания нелинейной характеристики. Это обстоятельство весьма ограничивает возможности метода. Наиболее простым способом приближенного представления нелинейной характеристики элемента является ее изображение совокупностью прямолинейных отрезков, т. е. кусочно-линейное выражение характеристики нелинейного элемента. При использовании этого метода, во-первых, упрощается аналитическая запись нелинейной характеристики, во-вторых, в пределах каждого линейного участка характеристики изменения токов и напряжений описываются линейными дифференциальными уравнениями, что дает возможность использовать весь аппарат расчета переходных процессов в линейных цепях. Однако при этом возникает задача определения постоянны* интегрирования. Эти постоянные следует определять, приравнивая значения токов и напряжений в конце некоторого участка к их значениям в начале последующего участка. Такой подход приводит к решению системы трансцендентных уравнений.

защиты или являются более сложными их комбинациями. Рассмотрим последовательно применение этих трех способов представления характеристик для синтеза реле.

В гл. 9 рассматривались методы аппроксимации, используемые в линейных цепях. Те же методы могут быть, по сути, использованы и для представления характеристик нелинейных цепей. Отличие будет состоять в выборе аналитических зависимостей, так как аппроксимации подлежат функции совершенно другого класса (в частности, ВАХ, а не АЧХ, ФЧХ и временные).