Подынтегрального выражения

т. е. подынтегральное выражение интеграла 4-го типа является разностью двух косинусоидальных функций, интеграл каждой из которых за целое число периодов равен нулю.

При смешанных описаниях каждое слагаемое или подынтегральное выражение в (3.6) — (3.8) имеет определенное теоретико-вероятностное содержание. Корректное использование дискретных смесей вида (3.6) стандартных плотностей вероятности связано с неортогональным базисом в пространстве плотностей, так как, за исключением практически неинтересного случая финитных стандартных плотностей, другие, будучи положительными, не могут быть ортогональными (финитными называются такие функции, которые отличны от нуля лишь на конечном интервале аргумента). В отличие от известных ортогональных разложений возможны смешанные представления с любым числом компонентов, удовлетворяющих всем аксиомам теории вероятностей. Например, полигауссовы представления плотности вероятности с конечным числом компонентов в отличие от рядов Эджворта всегда являются плотностями и, в частности, положительны во всей области определения.

Разлагаем подынтегральное выражение в ряд:

Контур интегрирования обычно выбирают таким образом, чтобы он совпадал слип ней вектора напряженности2 Н, что позволяет заменить подынтегральное выражение в (2-1) произведением скалярных величин Н dl.

5.25. Разложите подынтегральное выражение в преобразовании Гильберта на простые дроби.

Положим, что ?>0. Графики сигналов Si(t — ?) и 5а(), образующих подынтегральное выражение, приведены на III.2.7. Так как произведение этих сигналов отлично от нуля лишь в промежутке 0<<Х то

Вычисление этого интеграла проведем методом теории вычетов. Заметим, .что подынтегральное выражение имеет два простых полюса с координатами >ti,2= ±уу. Если бы линия передачи не обладала потерями, то имело бы место

выводе. Для первой формы осуществляется наложение токов, вызываемых отдельными постоянными составляющими напряжения, включаемыми со сдвигом во времени. Для второй формы, называемой импульсным интегралом Дюамеля, суммируются токи от отдельных прямоугольных импульсов напряжения, следуемых друг за другом. Здесь следует обратить внимание на важность понятия об импульсах напряжения и их воздействия на электрическую цепь. В настоящее время весьма широко стали использоваться импульсные воздействия источников энергии на различные электрические цепи — появилась так называемая «импульсная техника». Метод наложения надо иллюстрировать, например, включением цепи г, L на затухающее по показательному закону напряжение, применив обе формы интеграла Дюамеля, и рекомендовать применение для каждой задачи той его формы, для которой подынтегральное выражение упрощается.

т. е. подынтегральное выражение интеграла 4-го типа является разностью двух косинусоидалышх функций, интеграл каждой из которых за целое число периодов равен нулю.

т. е. подынтегральное выражение интеграла 4-го типа является разностью двух косинусоидальных функций, интеграл каждой из которых за целое число периодов равен нулю.

Из приведенных двух форм интеграла наложения при расчетах конкретных примеров следует применять ту, которая дает более простое подынтегральное выражение.

Действительно, правило (5.12) означает, что коэффициент A*(U) под интегралом в (5.11) отличен от нуля только при положительных значениях подынтегрального выражения и равен нулю при отрицательных. Любое другое распределение A*(U) будет означать или уменьшение числа положительных, или увеличение

В других, более сложных случаях можно воспользоваться графическим интегрированием. Для этого применительно к (7-4) по заданной характеристике строится кривая зависимости подынтегрального выражения от тока ( 7-7): 1

Разложив дробно-рациональную функцию подынтегрального выражения на простые дроби, имеем

Второе слагаемое в числителе подынтегрального выражения представляет собой знакопеременную функцию; вклад от него стремится к нулю с ростом базы сигнала, Таким образом,

Формула (2.6) справедлива при я>0. Интеграл в этой формуле берется по окружности единичного радиуса, внутри которой содержатся все полюса /(г). Этот интеграл вычисляется с помощью вычетов подынтегрального выражения. Вычисляя контурный интеграл по формуле Коши, (2.6') принимает вид

Если в прямом преобразовании Фурье (10.23) переменную /со заменить комплексной частотой s = a + /co, то у функции времени под знаком интеграла появится множитель е-°'. Этот множитель, внося затухание при соответствующем значении а>0, будет обеспечивать абсолютную интегрируемость подынтегрального выражения для всех значений i>0. Но так как при /<0 экспонента становится нарастающей, для обеспечения сходимости интеграла приходится ограничиваться функциями времени, равными нулю при /<0, и принимать в качестве нижнего предела интеграла нуль. В результате получаем преобразование Лапласа

Интеграл от второго члена подынтегрального выражения равен нулю, поэтому

В других, более сложных случаях можно воспользоваться графическим интегрированием. Для этого применительно к (7-4) по заданной характеристике строится кривая зависимости подынтегрального выражения -от тока ( 7-7):

Несмотря на громоздкость подынтегрального выражения, ин-

Интеграл от второго члена подынтегрального выражения равен нулю, поэтому

не вырожден и, следовательно, единицей в знаменателе подынтегрального выражения можно пренебречь. При этом условии решение (9~-49) имеет вид: