Плоскости комплексной

На плоскости комплексных амплитуд ( 7.2,6) Um будет изображаться вектором, аргумент которого равен начальной фазе а„, а длина пропорциональна вещественной амплитуде (/„,.

Синусоидальные функции времени а = Ams'm(wt -j- ty) изображаются также комплексными числами. При этом на плоскости комплексных чисел ( 3.1.2) из начала координат под углом $ к оси действительных чисел (вещественной оси) проводят вектор Am, концу которого соответствует определенное комплексное число. Комплексная амплитуда синусоидальных величин определяется выражением Am = >lme'* (где е — основание натурального логарифма). Для действующих значений синусоидальных величин это выражение преобразуется к виду: А = Ле">.

= 45°. Так как значения косинуса и синуса положительны, то угол яр/ находится в первой четверти плоскости комплексных чисел.

абсцисса и ордината комплексного тока отрицательны, то г>12 = = 225° или —135°, или 585° и т. д. Следовательно, вектор тока^_2 находится в третьей четверти плоскости комплексных чисел.

Здесь абсцисса положительна, а ордината отрицательна, поэтому вектор напряжения U_ расположен в четвертой четверти плоскости комплексных чисел г)и = 315° (или —45°, или 675° и т. д.).

Дрполнительное задание. На плоскости комплексных чисел построить векторную диаграмму напряжения U и тока / в цепи, а также графики зависимости индуктивного сопротивления катушки XL и емкостного сопротивления конденсатора Хс от частоты / переменного тока, т. е. XL, X
Векторная диаграмма напряжения Ц и тока ]_ на плоскости комплексных чисел для данной электрической цепи приведена з табл. .3.3.

Векторная диаграмма напряжения ]J_ и тока_/^ на плоскости комплексных чисел для данного случая приведена в табл. 3.3.

Элементы цепи Комплексная проводимость, См Угол сдвига фаз между напряжением и током, рад Комплексная мощность S = P + iQ = P + Векторные диаграммы на плоскости комплексных чисел

Начальный фазовый угол тока % = 0, а напряжения i)u = = — л/2. Угол сдвига фаз между напряжением U и током / ф = ij),, _ <ф, = —я/2. Векторная диаграмма напряжения U и тока / на плоскости комплексных чисел для этой цепи приведена в табл. 3.3.

На 7.2.2 на плоскости комплексных чисел приведена векторная диаграмма фазных (Л,, Ц_ь, Uc и линейных напряжений UАИ, Ц_вс, У_СА потребителя электроэнергии, при этом вектор фазного напряжения Ua направлен по вещественной оси в положительном направлении. С учетом этого фазные напряжения трехфазного симметричного потребителя могут быть представлены в комплексной форме записи: L/a = L'fl= l/ф = ——; 11ь =

из которого следует, что полюсы р\, р2, •••, рп передаточной функции являются корнями характеристического уравнения. Для устойчивости линейного четырехполюсника требуется, чтобы полюсы его передаточной функции располагались в левой полуплоскости. Как крайний случай, полюсы передаточной функции идеализированного чисто реактивного четырехполюсника могут размещаться на мнимой оси /со плоскости комплексной частоты.

На плоскости комплексной переменной со подынтегральная функция имеет два простых полюса в точках с координатами ct)i=/corp и о>2=//тэ. Находя вычеты

менную диаграмму; определить: 2) изображение функции; 3) нули и полюса, отметить их на плоскости комплексной частоты. Заданные выражения u(t), или [i(t)]:

11.195. Определить нули и полюса функций Z(p), Y(p) для цепей RL и #С; изобразить нули и полюса на плоскости комплексной частоты.

Изобразить нули и полюса на плоскости комплексной частоты.

1) Определить нули и полюса Y(p) и изобразить их на плоскости комплексной частоты; 2) методом нулей и полюсов о п-ределить принужденные составляющие реакции в случаях: а) и = e~2t, б) и = 2е~* cos t.

Главное достоинство рассматриваемого обобщения состоит в том, что вводятся понятия комплексной частоты и плоскости комплексной частоты, которые имеют очень большое значение в теории цепей.

Значения комплексной частоты удобно для наглядности изображать на плоскости комплексной частоты s с ве-

Задание нулей и полюсов, а также постоянного множителя К = ат/Ьп полностью определяет дробно- рациональную функцию. Нули и полюсы функций цепи, имеющих только вещественные коэффициенты, могут быть комплексными попарно-сопряженными и, в частных случаях, мнимыми попарно-сопряженными, а также вещественными. Для наглядности расположение конечных нулей и полюсов принято показывать на плоскости комплексной частоты, изображая первые кружочками, а вторые — крестиками. На 8.1, б показано расположение нулей и полюсов входной проводимости (8.4).

В заключение остановимся на связи нулей и полюсов функции цепи с характеристиками установившегося режима — частотными характеристиками, именно на возможности геометрического построения последних по расположению нулей и полюсов на плоскости комплексной частоты. Достоинство построения состоит в наглядности, возможности выявления для каждого диапазона частот наиболее влияющих («доминантных») нулей и полюсов и приближенного качественного построения по ним важнейших участков характеристики. Суть построения проще всего уяснить на примере последовательного ^L-контура с проводимостью передачи

Отсюда следует, что частотные характеристики могут быть построены из чисто геометрических соотношений на плоскости комплексной частоты — по длине и углу вектора, определяемого полюсом и частотой.