Переменных состояния

Показатели E(t) цели функционирования задаются как некоторые функционалы от переменных состояний на выходе объекта управления y(t) и воздействий:

Решение системы линейных дифференциальных уравнений состояния для приложенных к цепи при t>t0 воздействиях даст значения всех переменных состояний: напряжений емкостей

Применительно к задачам численного расчета процессов в нелинейных цепях последнее утверждение не просто тривиальное повторение известного из общего курса получения системы уравнений в режиме малого сигнала, а физическая интерпретация метода численного решения нелинейной системы дифференциальных уравнений электрических цепей в общем случае. Последовательность численного решения примерно такова. Пусть для некоторого начального момента времени /=0 известны переменные состояния Ч? и q. Если вместо системы нелинейных дифференциальных уравнений (В.20) рассмотреть систему линейных дифференциальных уравнения относительно малых сигналов, то по истечении некоторого времени A/I можно определить все приращения переменных состояний и, следовательно, найти их новые значения в момент времени О+Д/1. По этим значениям с помощью нелинейных характеристик рассчитывают новые значения Ч1' и q и соответствующие им параметры малосигнального режима и производят повторный расчет линейной системы (В.20) для интервала времени Д?2. Многократно выполнив эти расчеты, можно получить совокупность векторов *F и q для моментов времени /i = 0+A^, ^2 = ^i+A/2,..., tn = tn-i-\-&tn.

и ЯС-цепях при отсутствии внешних источников энергии [«(0^0] за счет энергии, запасенной в L- и С-элементах при начальных значениях переменных состояний, равных i0 L и мос. В то же время принужденные составляющие imp, «Спр определяются видом функции воздействующего напряжения u(t), они не зависят от начальных значений переменных состояний. Эти составляющие соответствуют процессам, которые бы протекали в рассматриваемых цепях ( 1.2, а, б) при нулевых начальных значениях (t'oz,=0, Мос=0).

= (1 — е лс ) безразмерна. Численно значения У (t) и N (t) совпадают со значениями переменных состояний it (t) и не (/) RL- и ЛС-иепей с нулевыми начальными условиями и единичными воздействующими напряжениями [и (?)=!].

Метод расчета переходных процессов, основанный на использовании синтетических схем, обладает и тем преимуществом, что для нелинейных цепей позволяет выбрать переменные, обеспечивающие однозначное решение. Метод подбора таких переменных для решения систем уравнений нелинейных резистивных схем рассмотрен в [1]. Заметим, что непосредственное использование метода переменных состояний в электрических цепях, где резистивные элементы обладают нелинейными свойствами, может привести к неоднозначности

В качестве переменных состояний выбираем ток( и напряжение на конденса-торе ис.

Таким образом, для выбора конкретного решения по допустимым нагрузкам на исполнительный двигатель необходимо определить дисперсии переменных состояний х, которыми характеризуется качество работы системы с различными вариантами оптимального регулятора (см. табл. 4-2), под действием возмуще-

1. Методы составления уравнений переменных состояний.

Условия гл(-0) = i[(+0) и мс(-0) =и'с(+0) могут быть реализованы двумя способами: либо заданием в момент коммутации начальных токов ^(-0) и напряжений ис(-0) равными ^(+0) и и'с(+0), либо выбором для коммутации такого момента времени, когда докоммутационные (старые) значения iL(-0) и мс(-0) в момент коммутации t = 0 равны послекоммутационным (новым) расчетным значениям i'L(+0) и и'с (+0). В сложных электрических цепях со множеством реактивных элементов, т. е. катушек индуктивности и конденсаторов, реализовать эти условия для всех элементов не всегда возможно и приходится удовлетвориться выбором такой комбинации элементов, для которой реализация возможна. Для оптимального решения этой проблемы требуется выбирать такой метод расчета токов и напряжений цепи, который наиболее приспособлен для нахождения именно установившихся значений i'L(+0) и и'с(+0). Эту задачу проще всего решить при помощи метода переменных состояний. В этом методе именно токи iL и напряжения ис являются искомыми переменными, что позволяет формировать систему дифференциальных уравнений, изначально разрешенных относительно их первых производных, известных в математической литературе под названием уравнений Коши.

Поскольку в случае линейных цепей применим принцип наложения, воздействие множества источников может быть сведено к суммированию воздействий отдельных источников. Исходя из этой возможности, рассмотрим частный случай, когда только в некоторой &-й ветви цепи имеется источник ЭДС или тока/А(0- Для этого случая уравнения состояния могут быть записаны относительно k-n совокупности переменных состояний х^:

Различают два подхода при применении ЭВМ для расчета цепи. Первый подход предполагает универсальные программные средства, включая входной язык формирования системы уравнений цепи по ее топологии. Такие средства созданы в настоящее время, но их разработка и совершенствование требуют специальных знаний в области математики и программирования. Второй подход, рассмотренный в книге, основан на численном решении систем уравнений цепи при помощи подпрограмм стандартного математического обеспечения ЭВМ. При этом расчетчик самостоятельно составляет систему уравнений в форме, необходимой для реализации подпрограмм. Для расчета стационарных режимов цепи это система уравнений в матричной форме [см. (1.10).], а для расчета переходных процессов — система дифференциальных уравнений первого порядка относительно переменных состояния.

после исключения тока if преобразуется в систему уравнений в нормальной форме относительно переменных состояния i L и ис

11.3. Метод переменных состояния

11.3. МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ

Составление системы дифференциальных уравнений цепи обычно основано на том, что вводится вектор-столбец X переменных состояния, в качестве которых выбирают токи во всех индуктивных элементах и напряжения на всех емкостных элементах цепи:

Изучим методику получения уравнений относительно переменных состояния на конкретных примерах.

11.4. Метод переменных состояния:

вектор переменных состояния Х= [uci, «02] т; токи через конденсаторы:

Обратимся, наконец, к случаю несколько более сложного колебательного контура без потерь ( 11.4,е). Здесь вектор переменных состояния Х= [in, iL2, UC]T- Три уравнения электрического равновесия

Рассмотренные выше примеры позволяют сделать вывод о том, что в рамках метода переменных состояния задача о нестационарном процессе в электрической цепи сводится к решению векторного дифференциального уравнения первого порядка

11.3. Метод переменных состояния 213