Принужденное напряжение

Как было показано, выражение для принужденной составляющей напряжения мспр получается при /-> ~. Когда напряжение на конденсаторе перестает изменяться (—!l?. = 0), ток в цепи становится

Если i)e — ф =?• 0, то будет происходить переходный процесс, при котором в определенную часть периода принужденная и свободная составляющие тока имеют одинаковые знаки. В результате этого ток переходного процесса в эту часть периода больше принужденной составляющей тока. Нетрудно видеть, что разница между i и inp зависит от начального значения и скорости затухания iCB.

Начальное значение свободной составляющей тока будет максимальным при ф, = =^е — <р = 90°. При этом 'св(О) = 1т- Если постоянная времени т = Иг значительно больше периода приложенного напряжения, то свободная составляющая за половину периода принужденной составляющей тока не успевает существенно уменьшиться. Поэ-

Приступая к изучению переходных процессов в цепях со сосредоточенными параметрами, первым надо! изложить классический метод составления и решения дифференциальных уравнений, так как он отражает физическую картину процессов. Постулируя невозможность в макромире скачкообразных изменений энергии, показывают обязательность плавного изменения тока в индуктивности и напряжения на емкости, что определяет также и начальные условия. Надо указать, что для расчета переходных процессов составляется система уравнений по законам Ома и Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и токов, которая приводится к одному линейному обыкновенному дифференциальному уравнению для одного из напряжений и токов. Его порядок равен числу независимых начальных условий для необъединяемых индуктивностей и емкостей. Напоминается, что решение уравнения, т. е. определение переходной величины, состоит из суммы принужденной составляющей, в качестве которой рекомендуется брать установившееся значение искомой величины, и свободной составляющей. Так как последняя равна общему виду переходной величины при коротком замыкании цепи, при изучении разных переходных процессов в различных цепях целесообразно сначала сразу рассмотреть их короткое замыкание, а общий вид переходной величины использовать как свободную составляющую для других переходных процессов в этой цепи.

Так как воздействующее на электрическую цепь напряжение u(t) постоянно, значение принужденной составляющей тока цепи в переходном режиме оказывается рав-

Так как воздействующее на электрическую цепь напряжение и(?) постоянно, значение принужденной составляющей тока цепи в переходном режиме оказывается равным его установившемуся значению: <\ = U/R. Ток в цепи при переходом процессе:

Свободная составляющая решения данного уравнения i'cn = e~°'j'oi,=fob постоянна. При этом установившуюся составляющую решения i'L можно считать совпадающей с его принужденной составляющей ibnp — Uot/L, а преходящую составляющую — со свободной. Характерной особенностью полученного резонансного решения уравнения с периодическим воздействием является непериодичность установившейся составляющей i't,= Uot/L.

Здесь установившаяся составляющая решения совпадает с принужденной составляющей, а преходящая составляющаяя — со свободной.

щий степенной ряд (см. § 2.6). Поэтому именно такое представление полного решения уравнения состояния и целесообразно использовать для нахождения его значений. В § 5.1 был рассмотрен алгоритм вычисления преходящей составляющей решения хсв = еА'х0. При расчете принужденной составляющей хпр основные проблемы связаны с вычислением m матричных функций

Пример 5.4. Пусть одна из компонент fi вектора воздействия f=f(/) в уравнении (5.1) постоянна: fi = a=const. Изображение ЛПЛ этой функции суть Ft(p; /)=a/p. Тогда в принужденной составляющей уравнения (5.1) появляется слагаемое вида

Рассмотрим теперь случай нулевых начальных условий г(0+) = = 0, когда RLC-котур включается на постоянное напряжение ( 7.14). Отличие данного случая от рассмотренного в § 7.4 заключается в нулевых начальных условиях и наличии принужденной составляющей нспр = U. Свободная ее составляющая мСсв будет определяться, как и ранее, уравнениями (7.35), (7.43) или (7.51) п зависимости от вида корней Pl и р2. Постоянные интегрирования А1 и А 2 найдутся при :>том из начальных условий г(0+) = 0; мс(0+) = 0 и законов коммутации для i и ис. Определим, например, закон изменения ис, i я UL в случае, когда корни Pl и р2 — вещественные и различные. При этом мссв определится уравнение (7.35), и напряжение ис и ток / будут иметь вид

При включении в тот момент, когда принужденное напряжение на

При включении в тот момент, когда принужденное напряжение на емкости получает максимальное значение Ост, а принужденный ток равен нулю, например при гр — ф = О,

Принужденное напряжение и'с = U0; если характеристическое уравнение

Принужденное напряжение на емкости равно э. д. с. источника. Поэтому согласно (14-12)

При включении в цепь г, С синусоидальной э. д. с. Emsin ((otf-f-tlO принужденное напряжение на емкости

принужденное напряжение на емкости должно быть равно нулю, то свободная слагающая напряжения на емкости не возникает и в цепи сразу без 'переходного процесса наступает принужденный установившийся режим.

Принужденное напряжение на конденсаторе равно падению напряжения на /?2 от тока /2 : ыс =2-10 = 20 В. По первому закону коммутации »2(0 J = <2(0+) = 2 А. Но *2(0+) = ;2пр(0+) + *2св(0+), откуда

/3np(0+)=l,2.33sin54°20'=l,016A. Принужденное напряжение на конденсаторе

Короткое замыкание rC-цепи (разрядка конденсатора). Рассмотрим переходный процесс в rC-цепи, в которой последовательно соединены резистор и конденсатор. Пусть к зажимам цепи 6.6, а приложено до коммутации постоянное напряжение U = U0 и конденсатор полностью зарядился, т. е. напряжение между его обкладками ис стало равным напряжению, приложенному к цепи (ис = U0). После переключения ключа К из положения а в положение Ъ образуется накоротко замкнутый контур с г и С, в котором конденсатор будет разряжаться (при этом контур отключен от воздействия приложенного напряжения U). Следовательно, в цепи существуют только свободное напряжение на емкостном шементе (конденсаторе) и свободный ток, так как процесс после коммутации протекает только за счет энергии W3 — Си2с/2, запасенной в электрическом поле конденсатора до начала переходного процесса. Принужденное напряжение на емкостном элементе и принужденный ток в цепи в этом случае равны нулю.

Включение rC-цепи на синусоидальное напряжение. Рассмотрим переходный процесс при включении rC-цепи ( 6.7,а) на синусоидальное напряжение и = Um sin (о>Г + \/), где \(/ — фаза включения. Принужденное напряжение на емкостном элементе в этом случае

Принужденное напряжение на емкости равно падению напряжения на сопротивлении R2 от тока »2пр: иСпр = 2-^=М]Е. По первому закону коммутации, J "•