Принужденная составляющая

характеристики. Представим интегралы в выражениях для принужденных составляющих с учетом новых обозначений в виде

Наряду с рассмотренным представлением решений уравнений состояния (1.1), (1.2) в виде сумм свободных и принужденных составляющих в теоретической электротехнике используют и другое представление, более отвечающее физической сути задач и инже-

Решение уравнений состояния простейших RL- и /?С-цепей практически сводится к определению установившейся либо принужденной составляющих, поскольку последующее нахождение преходящих и свободных составляющих уже не представляет трудностей. Если решение уравнений состояния ищут в численном виде, то целесообразнее определять сначала их принужденные составляющие, так как их выражают через собственные интегралы (интегралы с конечными пределами), вычислять которые проще. Следует отметить возможность применения интеграла Дюамеля для расчета процессов в таких реальных RL- и ^С-цепях, точные значения параметров R, L, С которых исследователю не известны. Дело в том, что в интеграл Дюамеля названные параметры явным образом не входят. Переходные же характеристики Y(t), N(t) могут быть определены для таких цепей экспериментальным путем. Если решения уравнений состояния ищут аналитически, то следует сначала найти их установившиеся составляющие, тем более что для многих задач именно эти составляющие решения и представляют наибольший инте Метод расчета переходных процессов в электрических цепях, заключающийся в последовательном расчете установившихся и преходящих составляющих их уравнений состояния, называют классическим. Для практической его реализации требуется разработка метода непосредственного нахождения установившихся составляющих решений уравнений состояния (без предварительного определения принужденных составляющих решений, как было осуществлено в данном параграфе).

То обстоятельство, что в установившихся составляющих решений уравнений состояний появляются экспоненты, имеющие те же показатели, что и экспоненты свободных составляющих, обусловливает необходимость более подробного рассмотрения связи между двумя формами представления решений (см. § 1.1) и оценки возможности использования различных подходов к определению установившихся составляющих решений. Решения уравнений состояния (1.1), (1.2) могут быть записаны в виде сумм свободных и принужденных составляющих:

Рассмотренный пример иллюстрирует трудность выделения из свободных и принужденных составляющих решений уравнений состояния со скачкообразно изменяющимися функциями воздействий установившихся составляющих этих решений. Причем в данном случае такое выделение было облегчено, поскольку рассматривалось уравнение с периодической функцией воздействия u(t) и соответственно с периодической функцией ис . Отметим, что в настоящее время известен целый ряд методов определения установившихся составляющих решений уравнений состояния. Однако практическое их использование усложняется в тех случаях, когда воздействующее напряжение изменяется скачкообразно и в установившихся составляющих появляются соответствующие экспоненциальные члены. Метод же, основанный на использовании ЛПЛ, не чувствителен к подобной особенности воздействий, чем выгодно отличается от других методов.

е). Для этого представим решения рассматриваемых уравнений в виде сумм свободных и принужденных составляющих:

Заметим, что применение формул (1.10), (1.11) для получения решений в аналитическом виде требует сложного технически вывода, основанного на действиях со степенными рядами, и не дает каких-либо преимуществ по сравнению с использованием для этой цели формул (1.7), (1.8). Если же необходимо численное решение уравнений состояния, то удается создать алгоритмы вычисления принужденных составляющих по (1.9) — (1.11), нечувствительные к резонансным особенностям уравнений. Такие алгоритмы составляют основу численно-аналитических методов решения уравнений состояния (см. гл. 5).

Формулы (3.5) и (3.6) позволяют записать решения уравнений состояния реактивных цепей (3.1) в компактном виде. Подобное представление решения оказывается удобным как для качественного его исследования, так и для последующей числовой обработки. Отметим, что в резонансном случае, когда изображения ЛСП &~i(s; t) не существуют на спектрах соответствующих матриц (—А)1/2, решения уравнений состояния (3.1) может определяться аналогично резонансным решениям уравнений (2.1), т. е. необходимо использовать выражение для принужденных составляющих через установившиеся составляющие решений с последующим предельным переходом (см. § 2.6; 5.3).

или же в виде сумм свободных и принужденных составляющих (см. §2.1, 2.2):

Как отмечалось ранее, получение полного решения уравнения состояния при этом не представляет сложности. Однако следует отметить, что рассмотренный метод применим лишь для безрезонансного случая, когда все операции обращения матриц, входящих в соответствующие аналитические выражения, корректны, т. е. эти матрицы не вырождены. Более того, для обеспечения удовлетворительной точности расчетов эти матрицы должны быть достаточно удалены от вырожденности, что затрудняет расчет в окрестностях резонансных точек. Так как часто у исследователя априори нет информации о том, насколько определяемое решение близко к резонансному, то можно применить более надежный метод получения решения уравнения состояния, основанный на численной обработке аналитических выражений решений уравнений состояния, записанных в виде суммы свободных и принужденных составляющих.

§ 5.3. Расчет принужденных составляющих решений уравнений состояния линейных стационарных электрических цепей

Частное решение уравнения (8.3) зависит от того, какой источник э.д.с. включен в электрическую цепь, изображенную на 8.1. Если это источник постоянной э.д.с. (е = Е), то независимо от того, был ли заряжен до коммутации емкостный элемент или нет, напряжение на нем по истечении переходного периода (теоретически при t-+- оо) равно величине э.д.с. Е, поэтому принужденная составляющая напряжения ис, определяемая частным решением, ыспр = Е, а принужденная составляющая тока 1пр — 0.

Так как принужденная составляющая тока в рассматриваемой цепи равна нулю, то

В частном случае, когда ?= = 0, что соответствует разряду конденсатора на последовательно соединенные резистивный и индуктивный элементы (см. 8.2), принужденная составляющая ыспр = О и напряжение на емкостном элементе «с = «с св. т. е. будет определяться формулой (8.15), в которой в соответствии с (8.16) надо положить А1+ А г =—U о- Знак «минус» в

Принужденная составляющая тока в этой цепи

Это означает, что ток в переходный период равен свободной составляющей, а принужденная составляющая равна нулю, так как в цепи после коммутации источников питания нет.

Принужденная составляющая тока в этом случае

Решение неоднородного дифференциального уравнения (4.2) классическим методом разбивается на две части: 1) частное решение [принужденная составляющая inp(f)] уравнения (4.2), зависящее от его правой части; 2) общее решение [свободная составляющая 1СВ(0] однородного уравнения без правой части:

2. Как находится принужденная составляющая тока?

Принужденная составляющая тока изменяется по синусоидальному закону:

2: PRINT "-ПРИНУЖДЕННАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ": RIBBON= 6: PRINT "U1=LHM*SIN-3.14/2 )": HTAB 28: PRINT "(3)": RIBBON» 3: PRINT

где 6(0 —импульсная функция. Принужденная составляющая