Операторных передаточных

Определение операторных изображений целесообразно находить, используя теорию определителей. По правилам матричной алгебры решение системы (5.4) запишем следующим образом:

2) благодаря алгебраизации дифференциальных уравнений или применению операторных изображений и известных из теории устано-

Как было показано, все методы расчета линейных электрических цепей основаны на законах Ома и Кирхгофа и аналогичны для установившихся режимов постоянного и синусоидального тока и для переходных процессов. Они заключаются в составлении и решении системы алгебраических уравнений, связывающих напряжения, токи и сопротивления (проводимости) ветвей цепи, причем при постоянном токе это реальные величины U, I, R или G, при синусоидальном—символические (комплексные) изображения О, /, Z или Y, а при переходных режимах — операторные изображения U (p), I (p), Z (р) или Y (р). После решения системы уравнений для установившихся синусоидальных и для переходных процессов осуществляется переход от символических и операторных изображений искомых величин к их оригиналам — реальным мгновенным значениям напряжений и токов.

Система, составленная из блоков направленного действия, условно изображается ее структурной схемой. Каждый блок в этой скеме изображается в виде прямоугольника, внутри которого указывается его передаточная функция. Блоки соединяются между собой линиями со стрелками, указывающими направление передачи действия. Рядом с этими линиями помечаются величины, для которых определяется передаточная функция. Например, передаточные функции четырехполюсника могут быть определены как отношение операторных изображений, либо напряжений на выходе и входе, либо токов на выходе и входе, либо напряжения на выходе и тока на входе и, наконец, либо тока на выходе и напряжения на входе. Величины, операторные изображения которых входят в передаточную функцию, обозначаются на соединительных линиях между блоками.

Существенно заметить, что уравнения для операторных изображений U (р, х) и I (р, х) являются обыкновенными дифференциальными уравнениями, так как они содержат лишь одну переменную х В этом отношении имеем определенную аналогию с уравнениями линии, записанными в комплексной форме при синусоидальном процессе.

Таким образом, в этом случае решение для операторных изображений напряжения и тока может быть записано в виде

— операторных изображений 205 ----------интегралов и производных 206

1 Под передаточной функцией понимается часто отношение операторных изображений, (см. гл. 15) электрических величин на выходе и входе четырехполюсника,

чении нагрузки или части ее? 8. Охарактеризуйте стадии волнового процесса при подключении разомкнутой на конце линии длиной / к источнику постоянного напряжения, полагая сначала для линии У?о=0о=0, а затем, что линия является линией без искажения. 9. Как от уравнений для мгновенных значений тока и напряжения перейти к уравнениям, записанным для операторных изображений этих величин? 10. В каком случае в качестве линии задержки используют линию с распределенными параметрами, а в каком — каскадное соединение фильтров НЧ? 11. Объясните идею формирования кратковременных импульсов с помощью линии с распределенными параметрами. 12. Решите задачи 15.5; 15.6; 15.12; 15.17.

Если в дифференциальные или интегро-дифференциальные уравнения состояния цепи подставить вместо сигналов их операторные изображения (6.50), то по свойствам (6.52) — (6.54) эти уравнения переходят в алгебраические уравнения относительно переменной р. Например, дифференциальное уравнение (6.35) при подстановке операторных изображений тока и э. д. с. в соответствии с формулами (6.52), (6.53) и преобразованием № 5 табл. П. 1 1 принимает следующий вид, если /(0) = 0:

Определение оригиналов операторных изображений в ряде случаев упрощается при использовании и других их свойств, известных из курса математики, которые приведены в табл. П. 12. Однако наибольшее упрощение в определении оригиналов (сигналов) получается при непосредственном использовании таблиц операторных изображений. Ввиду большой значимости операторных методов для практических приложений эти таблицы составлены для обширных классов функций, что делает такой способ достаточно универсальным. , '

9.27*. Полиномы знаменателя операторных передаточных функций некоторых цепей зависят от параметра «к» и записываются следующим образом: а) (5 + /с)/72 + /?+ 1; б) Зр2 + (1 — к)/? + 2; в) 4/?2 + 4р + /с; г) (2 + к)/?2 + (1 — /с)р+ 1. Для каждого полинома определить пределы к, в которых полином описывает устойчивую цепь. Построить на комплексной плоскости траекторию движения полюсов при изменении параметра к в заданных пределах.

9.31. Записать все виды операторных передаточных функций i>2/U\ /2/f/i, /2//i, Uz/I\ через определитель и алгебраические дополнения матрицы У системы (9.1), если входными и выходными зажимами являются произвольные узлы m, n и р, q соответственно.

Найдем обратное преобразование Лапласа от операторных передаточных функций (10.7) и (10.8). Выражения Ни(р) и Ну(р) являются неправильными дробно-рациональными функциями, так как степени полиномов числителя и знаменателя одинаковы. Разделив числитель на знаменатель выражения (10.7), получим:

12.33. Для каскадной модели ( 12.14, б), найти все четыре в^да операторных передаточных функций Uz/Ui, /г//ь /2/f/i, ?/2//i, считая известными параметры четырехполюсников «а» и «Ь».

16.1. Какие из перечисленных функций удовлетворяют условиям физической осуществимости операторных передаточных функций, а какие нет и почему:

16.2. Для операторных передаточных функций зад. 16.1, удовлетворяющих условиям физической осуществимости, записать соответствующие комплексные передаточные функции, АЧХ и ФЧХ.

16.4. Для операторных передаточных функций зад. 16.1, удовлетворяющих условиям физической осуществимости, показать на комплексной плоскости положение их нулей и полюсов и указать, какие из них являются минимально-фазовыми, а какие нет.

18.19. В гл. 9 изложена методика нахождения операторных передаточных функций цепей, содержащих операционные усилители. Пользуясь этой методикой, найти множество схем, которые обладают передаточной функцией второго порядка

19.1. Полиномы знаменателей операторных передаточных функций фазовращателей имеют вид: а) р2-\-p-\-\; б) р3 + 6р2 + + 15р=15; в) /?4+10р3 + 45р2 +105/7+105. Записать их операторные передаточные функции. Для случая а) показать расположение нулей и полюсов на комплексной плоскости.

Таблица ПЗ. 1. Коэффициенты полиномов знаменателей операторных передаточных функций ФНЧ Баттерворта

В таблице ПЗ. 1 приведены коэффициенты полиномов знаменателей операторных передаточных функций ФНЧ с характеристиками Баттерворта, а в табл. П3.2 — с характеристиками Чебышева. В этих же таблицах указан постоянный множитель к, при котором минимальное ослабление в полосе пропускания равно нулю. Операторные передаточные функции представляются следующим образом: