Нелинейное дифференциальное

Вследствие нелинейной зависимости В(Н) величина ц не остается постоянной. Характер этой зависимости впервые был установлен в 1871 г. А. Г. Столетовым. Примерный ход кривой (х(Я) показан на 11.8.

Корреляционная связь характеризуется формой и теснотой связи. Численные характеристики тесноты корреляционной связи при линейной зависимости- — коэффициент корреляции г; при нелинейной зависимости — корреляционное отношение ц. Эти величины рассчитываются на основании статистических данных.

Ввиду нелинейной зависимости / (И) уравнение Ё = = Z/ + & является нелинейным. Оно может быть решено графически. На 3-22, б кривая / изображает характеристику н. э., а прямая 2 — характеристику полного сопротивления г. Задаваясь произвольными значениями тока /ь /2 и т. д., находим

Вследствие нелинейной зависимости магнитного потока от тока якоря аналитическое выражение механической характеристики, так же как и для двигателя последовательного возбуждения, получить нельзя.

Необходимо отметить, что в усилителях имеют место фазовые сдвиги между входным и выходным сигналами, которые могут привести к появлению фазовых искажений. Фазовые искажения проявляются лишь при нелинейной зависимости фазового сдвига от частоты. Эту зависимость принято называть фазо-частотной (фазовой) характеристикой (ФЧХ). Частотные и фазовые искажения являются линейными искажениями и обусловлены одними и теми же причинами, причем большим частотным искажениям соответствуют большие фазовые искажения, и наоборот.

Второй частью этой темы является краткое описание нелинейных устройств. Сначала следует рассмотреть те, которые основаны на нелинейной зависимости мгновенных значений напряжения и тока: утроители и удвоители частоты и вентильные выпрямители. Рекомендуется также изложить принцип действия ферромагнитных запоминающих элементов вычислительных машин: опыт показывает, что учащиеся особенно интересуются использованием изучаемого ими курса ТОЭ в новой технике. . Затем рассматриваются явления и устройства, основанные на нелинейной зависимости действующих значений напряжения и тока— феррорезонанс напряжений и ферромагнитные стабилизатор напряжения и усилитель мощности. На примере феррорезонансных схем следует показать особенности частотных свойств нелинейных систем и отметить возможность возникновения в них субгармоник. Надо подчеркнуть применение субгармоник в делителях частоты и указать на возможность возникновения перенапряжений в системе за счет резонанса на субгармонике.

где Д71 = Гтах — 20 °С или ДГ = Гт1п — 20 °С — разности между максимальной положительной или минимальной отрицательной рабочей и нормальной температурами. Следует отметить, что в основу рассмотренного метода расчета температурных допусков по выражениям (3.41) — (3.46) было положено допущение линейной зависимости параметров элементов от температуры. В случае нелинейной зависимости используют линейную аппроксимацию закона изменения параметров и предварительно рассчитывают ТК параметров элементов по выражению

Форма пазов влияет на закон изменения kr и kx, что сказывается на динамических характеристиках. Однако большее влияние на процессы преобразования энергии оказывают начальные и конечные значения сопротивлений. Характер изменения сопротивлений ротора (вид нелинейной зависимости сопротивлений от времени) имеет второстепенное значение. Вычислительные машины позволяют провести исследования при различных комбинациях линейных и нелинейных параметров и различных законах изменений kr и /t, от времени, т.е. для любой формы пазов.

Вопрос об оптимальном напряжении в цеховых электрических сетях решается исходя из требований обеспечения допустимых отклонений напряжения на зажимах электроприемников и снижения потерь мощности в сети. Исходя из этого, переключение ПБВ цеховых трансформаторов и регулирование напряжения в ЦП осуществляются таким образом, чтобы напряжение на зажимах электроприемников в сети 0,4 кВ находилось у верхнего допустимого по ГОСТ 13109—67* уровня (?/н+10%). При этом не учитываются технико-экономические показатели осветительных установок и АД. В связи с отсутствием сведений о зависимости КПД электродвигателей (т)) и cos ф от напряжения на их зажимах такие зависимости для ряда двигателей были получены экспериментально. Исследования показали наличие нелинейной зависимости т] и cos ф электродвигателей от напряжения и их загрузки. Для АД мощностью 1 кВт, работающего с номинальной нагрузкой, изменение напряжения на его зажимах в пределах (0,9—1,1) С/н приводит к варьированию cos ф в пределах 0,71—0,85. Если же двигатель работает с загрузкой 0,5 от номинальной, то его cos ф оказывается очень низким и изменяется при том же изменении напряжения в пределах 0,32—0,52. Такое снижение cos ф при уменьшении загрузки двигателей приводит к значительному уменьшению их технико-экономических показателей, как электроприемников. Проведенные эксперименты позволили сделать общий вывод относительно характеристик электродвигателей малой мощности, заключающийся в том, что максимум г\ и cos ф при загрузке двигателей по активной мощности (0,6—0,75) Рн смещается от UH в нижнюю сторону и наступает при напряжениях на зажимах двигателей (0,93—0,97) С/н. Поскольку в реальных условиях производства загрузка электродвигателей, как правило, не превышает (0,6—0,7) РН, то была поставлена задача оценить зависимость электропотребления от уровня напряжения в цеховой сети. Электропотребление цехов предприятий зависит от объема выпускаемой продукции. Поэтому такая оценка зависимости осуществляется по удельным расходам электроэнергии.

Воспроизведение нелинейной зависимости

Так как процессы в электрических аппаратах часто описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, то возникает необходимость воспроизведения различных нелинейных зависимостей. Эти операции при расчете на АВМ выполняются с помощью диодных функциональных преобразователей (нелинейных блоков). Нелинейные блоки строятся, как правило, на принципе кусочно-линейной аппроксимации нелинейной зависимости. При этом аргумент и функция разбиваются на ряд участков, в пределах каждого из которых зависимость принимается линейной. Используемые при расчете аппаратов нелинейные зависимости (кривые намагничивания ферромагнитных материалов, зависимости от рабочего зазора индуктивности, магнитной проводимости и др.) гладки, не имеют разрывов и часто имеют линейные участки. Указанные кривые целесообразно разбивать, концентрируя большую часть интервалов на нелинейных участках.

смотрим, например, нелинейное дифференциальное уравнение Ван дер Поля

При переменных Lp(ip), Rp(ip) (в частности, при нелинейных) зависимость ip(t) отличается от таковой при Lp = const, Rp = const. Однако и при Lp(ip) и Rp(ip) процессы могут быть только двух видов: апериодические и колебательные, с возможным переходом одного процесса в другой на протяжении одного разрядного цикла. Момент времени перехода апериодического процесса в колебательный и обратно определяется конкретными зависимостями Lp(ip), R?(ip)- В общем случае при произвольных jLp(zp), Rp(ip) нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка не имеет аналитического решения и решается численными методами при заданных функциях Lp(jp), ^p(Zp)- При последовательном включении нагрузки в разрядный контур, когда ток нагрузки равен /н = /р, напряжение на нагрузке определяется как uH = ipRH + Lndip/dt. При постоянных LH и /?н, значительно превышающих все остальные индуктивности и сопротивления разрядного контура, для приближенных оценок разрядного тока используют известные выражения предельного апериодического и колебательного разрядов [3.7], полученные в результате решения линейного дифференциального уравнения мсн = грRp + Lpdip/dt + (1 / Сн) j ipdt

При анализе параметров р — «-перехода, а также при выявлении его частотных свойств удобно пользоваться схемой замещения (эквивалентной схемой) р — «-перехода ( 4.7). На ней обозначены: г — общее сопротивление полупроводниковых областей кристалла и контактов р — «-областей с выводами; гтф — нелинейное дифференциальное сопротивление р — «-перехода, зависящее от на-

В начале этой темы целесообразно рассмотреть вопрос об устойчивости режима в нелинейной цепи. Простым примером может быть питаемая постоянным -напряжением цепь с последовательным соединением линейной индуктивности, линейного сопротивления и электрической дуги. Пересечения падающей вольт-амперной характеристики дуги и прямолинейной характеристики сопротивления показывают, что здесь возможны два равновесных режима. Надо объяснить, что один из них устойчив, так как при возможном кратковременном изменении тока в цепи возникает э.д.с. самоиндукции, приводящая к возвращению к этому режиму; при отступлении же от второго режима эта э.д.с. переводит цепь в первый режим или уменьшает ток до нуля. Затем анализ устойчивости в этой цепи следует провести аналитически — методом малых приращений, при которых дифференциальное сопротивление нелинейного элемента вблизи равновесных режимов может считаться постоянным, что превращает нелинейное дифференциальное уравнение для тока в линейное и позволяет сразу получить оценку устойчивости каждого из двух равновесных режимов.

Здесь напряжение и, умноженное на 1/L, складывается с током /, умноженным на R/L. Полученное значение производной di/dt интегрируется, после чего получаем ток t, который после умножения на коэффициент R/L складывается с u/L. В этом случае используется интегратор, что позволяет избежать ошибок, связанных с необходимостью дифференцирования. Дрейф нуля решающего усилителя может привести к существенным ошибкам в расчете. При расчете динамики включения аппарата необходимо решать нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее процесс перемещения подвижной системы. Решение этого уравнения связано с необходимостью двойного интегрирования напряжения дрейфа, приведенного к входу первого интегратора, что может вызвать накопление значительной ошибки. В силу сказанного при подготовке к расчету для решения этого уравнения следует подбирать усилители •со стабильным нулевым уровнем.

В декартовой системе координат, выполнив дифференциальные операции и некоторые преобразования в (8.48), можно найти следующее нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее распределение магнитного поля с учетом магнитных свойств среды:

Выражение (14.53) — нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка, его можно исследовать с помощью построения семейства интегральных кривых на фазовой плоскости. Так как время т не входит явно в (14.53), его можно исключить. Тогда порядок уравнения (14.53) снижается на единицу. Принимая скольжение за новую переменную, запишем

числа различных факторов. Труднее всего поддается математическому описанию процесс изменения сопротивления щеточного контакта набегающего и сбегающего краев щетки при движении щетки по коллектору. Сложность заключается в том, что удельное сопротивление щеточного контакта — функция многих переменных (плотности тока, атмосферных условий, продолжительности работы машины, температуры коллектора, площади контакта и т. д.). Многочисленные исследования вольт-амперных характеристик щеток показали, что сопротивление щеточного контакта — нелинейная функция плотности тока. Следовательно, (15.1) — нелинейное дифференциальное уравнение и решения в общем виде не имеет. Точное решение (15.1) возможно только численными методами, приближенное — путем аппроксимации действительной зависимости сопротивления щеточного контакта от плотности тока какой-либо простой зависимостью, причем точность приближения во многом зависит от принятых допущений. В настоящее время имеются следующие теории коммутации: 1) классическая; 2) на основе допущения Л?/щ = const; 3) оптимальной коммутации. Общие допущения для этих теорий: 1) полное механическое совершенство щеток и коллектора при любых частотах вращения; 2) толщина изоляционной прокладки между коллекторными пластинами бесконечно мала.

Подставляя указанные значения функции для участков в нелинейное дифференциальное уравнение, получим линейные дифференциальные уравнения для участков:

Для построения фазовых траекторий применяется метод изоклин [Л. 1—4]. Изоклиной называется геометрическое место точек фазовой плоскости, для которых dy/dx — постоянная величина. Сущность метода изоклин состоит в том, что заданное дифференциальное уравнение решается относительно у в функции of x и от dy/dx. Рассмотрим например нелинейное дифференциальное уравнение Ван дер Поля

Действительно, (8.33) представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение 1-го порядка по отношению к Усраб- Величина УСраб является неявной нелинейной функцией Л^гэс и в общем виде найти искомую зависимость Усраб(0 невозможно. Исключением может быть применение АВМ [48], которые с учетом неточности исходных данных могут использоваться для решения, поставленной задачи в самом общем виде.