Нелинейной аппроксимации

Используя (1.45) и (1.46), нетрудно решать многие задачи, связанные с расчетом и анализом нелинейной электрической цепи. Например, по (1.46) можно определить ток 1Х, а по (1.45) — напряжение Ux при заданных ?„ г„., и гл.

В ряде случаев при проведении практических расчетов периодические несинусоидальные ЭДС и напряжения можно представить эквивалентными синусоидами: так, при изучении нелинейной электрической цепи, т. е. цепи, содержащей катушку с ферромагнитным магнитопроводом (см. гл. 6), несинусоидальный ток заменяется эквивалентной синусоидой. Подобная замена осуществляется так, чтобы действующее значение эквивалентной синусоиды ЭДС или напряжения равнялось действующему значению несинусоидальной величины.

Учитывая подобие схемы замещения магнитной цепи и схемы нелинейной электрической цепи, для решения обратной задачи расчета магнитной цепи можно воспользоваться методом, изложенным в § 1.16, основанным на графическом решении двух уравнений с двумя неизвестными. Для этого необходимо рассчитать и построить график зависимости O(fM) для нелинейной части апб схемы замещения магнитной цепи; рассчитать и построить график зависимости Ф = /(1/м) для линейной части атб схемы замещения магнитной цепи.

Продолжая дальше аналогию между электрическими цепями постоянного тока и магнитными цепями с постоянными МДС, представим неразветвленную магнитную цепь ( 7.9) схемой замещения ( 7.12, а). Эта схема замещения и схема замещения нелинейной электрической цепи с последовательным соединением элементов (см. 6.2) полностью аналогичны (с точностью до обозначения параметров элементов). Следовательно, для анализа неразветвленных магнитных цепей (а также и разветвленных магнитных цепей) с постоянной МДС можно пользоваться всеми графическими и аналитическими методами расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока (§ 6.2).

Для решения обратной задачи удобно воспользоваться расчетной схемой замещения магнитной цепи 11.18,6, представляющей собой разветвленную схему с тремя нелинейными элементами. Расчет ее аналогичен расчету нелинейной электрической цепи постоянного тока.

находятся токи в нелинейной электрической цепи с двумя узлами (см, § 1-5). Если положительные направления магнитных потоков, выбранные одинаково относительно узлов, совпадают с заданными направлениями н. с., то магнитные характеристики смещаются влево на соответствующие величины н. с.

Продолжая дальше аналогию между электрическими цепями постоянного тока и магнитными цепями с постоянными МДС, представим неразветвленную магнитную цепь ( 7.9) схемой замещения ( 7.12, а). Эта схема замещения и схема замещения нелинейной электрической цепи с последовательным соединением элементов (см. 6.2) полностью аналогичны (с точностью до обозначения параметров элементов). Следовательно, для анализа неразветвленных магнитных цепей (а также и разветвленных магнитных цепей) с постоянной МДС можно пользоваться всеми графическими и аналитическими методами расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока (§6.2).

Продолжая дальше аналогию между электрическими цепями по-стрянного тока и магнитными цепями с постоянными МДС, представим неразветвленную магнитную цепь ( 7.9) схемой замещения ( 7.12, а). Эта схема замещения и схема замещения нелинейной электрической цепи с последовательным соединением элементов (см. 6.2) полностью аналогичны (с точностью до обозначения параметров элементов). Следовательно, для анализа неразветвленных магнитных цепей (а также и разветвленных магнитных цепей) с постоянной МДС можно пользоваться всеми графическими и аналитическими методами расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока (§6.2).

При расчете электрических цепей с последовательным включением нелинейных (или линейных и нелинейных) сопротивлений /?i и Rz ( 2.1.1) вольт-амперные характеристики соответствующих сопротивлений l\(U) и I^U) представляются в общей координатной системе и по ним строится общая вольт-амперная характеристика l(U) всей нелинейной электрической цепи ( 2.1.2), абсцисса каждой из точек которой при заданном токе / (заданной ординате) находится как сумма соответствующих падений напряжения (t/=t/-f t/2) на этих сопротивлениях R\ и /?2, поскольку при последовательном соединении по сопротивлениям протекает, один и тот же ток / цепи. Таким образом, по общей вольт-амперной характеристике 1(11) нелинейной цепи при заданном значении напряжения U и последовательном соединении сопротивлений легко определяют ток / в нелинейной цепи, а по заданному току / находят напряжение U, подводимое к неживой цепи, и напряжения l/i и С/2 на каждом из последовательно соединенных сопротивлений.

нелинейных) сопротивлений Л, и R2 ( 2.1.3) также строят общую вольт-амперную характеристику 1(U) нелинейной электрической цепи ( 2.1.4). При этом ординату каждой из точек общей вольт-амперной характеристики при заданном подводимом к цепи напряжении U (заданной абсциссе) определяют как сумму токов в цепях соответствующих сопротивлений (/=/(+/2), так как при параллельном соединении на всех сопротивлениях действует одно и то же напряжение U. Следовательно, при параллельном включении сопротивлений по общей вольт-амперной характеристике I(U) и заданном значении напряжения U нетрудно определить и ток / в нелинейной электрической цепи. При заданном общем токе / также легко определить и напряжение U, подводимое к данной нелинейной электрической цепи, и токи 1\ и /2, протекающие в цепи каждого из параллельно соединенных сопротивлений.

В соответствии со схемой замещения рассматриваемой нелинейной электрической цепи ( 2.2, в) исходя из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа, имеем: ?/12+/?»к/5= «=?„, отсюда /S=(?SK — fiz)//?™-

Для решения 'нелинейных уравнений принцип наложения не применяют. В этом случае используют один из следующих методов: интегрируемой нелинейной аппроксимации, кусочно-линейной аппроксимации, последова гельных приближений, численные, графические, теории устойчипосги

Рассмотрены следующие аналитические методы: 1) метод интегрируемой нелинейной аппроксимации (см. § 16.3); 2) метод кусочно-линейной аппроксимации (см. § 16.4); 3) метод медленно меняющихся амплитуд (см. § 16.6); 4) метод малого параметра (см. § 16.7); 5) метод интегральных уравнений (см. § 16.8).

§ 16.3. Расчет методом интегрируемой нелинейной аппроксимации. Данный метод основан на аппроксимации характеристики нелинейного элемента такой нелинейной функцией, которая, во-первых, достаточно точно отображает его характеристику в предполагаемом интервале перемещения изображающей точки по ней и, во-вторых (и это главное), дает возможность точно проинтегрировать уравнение в известных функциях.

1. Охарактеризуйте известные вам группы методов расчета переходных процессов в нелинейных цепях. 2. Укажите, в чем положительные и в чем отрицательные стороны расчетов по мгновенным значениям и по огибающим первых гармоник, графоаналитических и аналитических методов. 3. Почему метод расчета, основанный на графическом подсчете определенного интеграла, неприменим даже для цепей первого порядка, если вынуждающая сила является функцией времени? 4. Почему метод интегрируемой нелинейной аппроксимации не удается применить к электрическим цепям, описываемых уравнениями второго и более высоких порядков? 5. Чем физически можно объяснить, что при подключении линейной RL-цепи к источнику синусоидальной ЭДС максимальное значение тока при переходном процессе не может превысить удвоенного значения амплитуды тока установившегося режима, тогда как при подключении цепи резистор — индуктивная катушка с нелинейной ВАХ к источнику синусоидальной ЭДС это превышение может быть во много раз больше? 6. Сформулируйте особенности расчета переходных процессов в нелинейных системах не чисто электрических, например электромеханических. 7. На примере цепи с термистором покажите, что бывает полезно подразделить переходный процесс на быстро и на медленно протекающие стадии и рассматривать их раздельно. 8. В чем идея метода малого параметра? 9. Запишите и прокомментируйте рекуррентное соотношение, являющееся решением нелинейного интегрального уравнения. 10. Охарактеризуйте идею метода медленно изменяющихся амплитуд. 11. Как расчетным путем учитывают магнитную вязкость при перемагничивании

§ 16.3. Расчет методом интегрируемой нелинейной аппроксимации ... 530

Рассмотрены следующие аналитические методы: 1) метод интегрируемой нелинейной аппроксимации (§ 16.3); 2) метод кусочно-линей-

§ 16.3. Расчет методом интегрируемой нелинейной аппроксимации.

Метод интегрируемой нелинейной аппроксимации основан на аппрокси-

1. Охарактеризуйте известные Вам 'группы методов расчета переходных процессов в нелинейных цепях. 2. Укажите, в чем положительные и в чем отрицательные стороны расчетов по мгновенным значениям и по огибающим первых гармоник, графо-аналитических и аналитических методов? 3. Почему метод расчета, основанный на. графическом подсчете определенного интеграла, неприменим даже для цепей первого порядка, если вынуждающая сила является функцией времени? 4. Почему метод интегрируемой нелинейной аппроксимации не удается применить к электрическим цепям, описываемых уравнениями второго и бб*лее высоких порядков? 5. Чем физически можно объяснить, что при подключении линейной цепи RL к источнику синусоидальной э. д. с. максимальное значение тока при переходном процессе не может превысить удвоенного значения амплитуды тока установившегося режима, тогда как при подключении цепи «R — нелинейная индуктивность» к источнику синусоидальной э. д. с. это превышение может быть во много раз больше? 6. Покажите что метод расчета переходных процессов, основанный на замене определенного интеграла приближенной суммой по формуле трапеций, применим к уравнениям второго, третьего и более высоких порядков. 7. Охарактеризуйте идею метода медленно изменяющихся амплитуд. 8. Как расчетным путем учитывают магнитную вязкость при перемагничивании ферритовых сердечников импульсами тока?

§ 16.3. Расчет методом интегрируемой нелинейной аппроксимации...... 444

В первую группу аналитических методов входят метод интегрируемой нелинейной аппроксимации (§ 12.3), кусочно-линейной аппроксимации (§ 12.4), медленно меняющихся амплитуд (§ 12.8), а также некоторые аналитические методы, рассматривавшиеся в гл. 8: метод малого параметра, метод интегральных уравнений, прямые вариационные методы и др.