Нелинейными зависимостями

В некоторых случаях физические процессы и соотношения различных объектов неэлектромагнитной природы описываются большим числом уравнений, вследствие чего их расчет и анализ становятся чрезвычайно затруднительными. Они особенно осложняются, когда объекты содержат нелинейные 'элементы, так как при этом приходится иметь дело с нелинейными уравнениями. В этих случаях для облегчения расчета и анализа используется моделирование, под которым понимают замену реального объекта его моделью. Особая ценность моделирования состоит в том, что оно позволяет произвести всесторонний экспериментальный анализ модели, а затем использовать результаты анализа при разработке объекта. Про-

пряжения и токи, связанные между собой двумя нелинейными уравнениями состояния

При анализе нелинейных цепей (раздел второй) все процессы описываются нелинейными уравнениями; принцип суперпозиции неприменим и для расчета процессов в цепях используют графоаналитические и численные методы, а также приближенные методы из-за сложности получения точных решений. Само понятие электрической или магнитной цепи основывается на приближенном математическом описании процессов в реальном устройстве, при котором электрическое или магнитное поле предполагается сконцентрированным в локальной области. Математическое описание процесса сводится к составлению алгебраического или дифференциального уравнения, связывающего интегральные величины: ток, напряжение, заряд, магнитный поток в сосредоточенном элементе цепи.

Электронные ключи относят к классу нелинейных элементов, вольт-амперные характеристики которых имеют вид нелинейных функций, а процессы описываются нелинейными уравнениями различного вида. Нелинейным элементом электронного ключа является полупроводниковый прибор (диод, транзистор), нелинейное сопротивление которого — величина переменная. В электронных ключах транзисторы работают в ключевом режиме (см. § 2.3).

Процессы и явления, происходящие в различных физических системах (электрических, механических, гидравлических и т.д.), несмотря на различную их физическую природу, могут быть описаны сходными математическими (линейными и нелинейными) уравнениями, в частности дифференциальными, решать которые удобно, используя электронные моделирующие устройства (аналоговые электронные вычислительные машины). Большинство предназначенных для этой цели электронных устройств построены на базе операционных усилителей*.

Поставленные задачи требуют математического аппарата, обеспечивающего решение уравнений движения системы. Число этих уравнений, как известно, равно числу степеней свободы. В зависимости от сделанных допущений, продиктованных, в свою очередь, постановкой задачи, приходится оперировать с линейными или нелинейными уравнениями (см. гл. II). При больших возмущениях исследование поведения системы (ее динамической устойчивости) требует решения систем нелинейных дифференциальных уравнений, число которых на каждый генерирующий агрегат может быть равным от двух до сорока. В зависимости от сделанных допущений эти уравнения объединяются с системой алгебраических уравнений, описывающих сеть (два уравнения на узел). Для практических расчетов процессов, определяющих переходный режим сложной системы (200 — 300 генераторов, 1000 — 1500 узлов), приходится оперировать с очень громоздкими системами уравнений, что не только вызывает трудности, связанные со сложностью решения, но и ставит проблему обозримости результатов, так как большое количество функциональных связей, выявленных в результате расчетов, требует для их практического использования систематизации и упрощений. Упрощения обычно целесообразно провести до начала расчетов, осуществляя так называемое эквивалентирование: замену групп одинаковых генераторов или таких, поведение которых во время переходного процесса можно считать одинаковым, одним эквивалентным генератором.

Под опорным понимается переходный процесс, протекающий при выбранных однозначных параметрах, также называемых опорными, обычно равных средним значениям ожидаемого диапазона изменений. Опорный процесс описывается нелинейными уравнениями движения.

чают в первом приближении модели большого сигнала и модели малого сигнала: первые относятся к нелинейным моделям и описываются нелинейными уравнениями, вторые— к линейным и описываются линейными уравнениями. Малосигнальные модели используются, когда анализ передачи сигнала сводится к анализу временных зависимостей приращений токов и напряжений по отношению к токам и напряжениям режима покоя. При малых приращениях ВАХ прибора линейны в окрестности рабочей точки и модель получается достаточно простой. Модели малого сигнала широко используются при анализе частотных и пе-

В очень большом числе случаев, однако, сопротивления зависят от величины тока или разности потенциалов. Такие цепи являются нелинейными, и процессы в них описываются нелинейными уравнениями.

Уравнение преобразования может быть линейным или нелинейным. Чаще всего стремятся иметь линейную зависимость Y — f(X). Однако при сочетании нескольких преобразователей, например в измерительном приборе, отдельные преобразователи могут быть взяты с заведомо нелинейными уравнениями преобразования, чтобы получить линейную зависимость между измеряемой и выходной величинами прибора.

Процессы и явления, происходящие в различных физических системах (электрических, механических, гидравлических и т. д.), несмотря на различную их физическую природу, могут быть описаны сходными математическими (линейными и нелинейными) уравнениями, в частнбсти дифференциальными, решать которые удобно, используя электронные моделирующие устройства (аналоговые электронные вычислительные машины). Большинство предназначенных для этой цели электронных устройств построены на базе операционных усилителей1.

Многообразие переходных процессов в электрических машинах определяется многообразием сочетаний параметров, их нелинейными зависимостями, влиянием включенных в статор и ротор элементов, обратными связями, несимметрией и несинусоидальностью напряжений, характером движения и конструктивными исполнениями ЭП.

АВК-2 (1) для решения дифференциальных уравнений до 20-го порядка со сложными нелинейными зависимостями, с постоянными и переменными коэффициентами ;

Многообразие переходных процессов в электрических машинах определяется многообразием сочетаний параметров, их нелинейными зависимостями, влиянием включенных в статор и ротор элементов, обратными связями, несимметрией и несинусоидальностью напряжений, характером движения и конструктивными исполнениями ЭП.

АВК-2 (1) — для решения дифференциальных уравнений до 20-го порядка со сложными нелинейными зависимостями, с постоянными и переменными коэффициентами;

1) АВК-2(1) —для интегрирования дифференциальных уравнений до 20-го порядка со сложными нелинейными зависимостями, с постоянным и переменными коэффициентами;

Характеристики аппаратов связаны, как правило, нелинейными зависимостями с геометрическими размерами и другими параметрами. Поэтому расчет на оптимум требует привлечения специальных разделов вычислительной математики, например нелинейного программирования.

Свойства электрических машин описываются нелинейными зависимостями, которые часто изображаются графически — характеристическими кривыми или сокращенно характеристиками.

Большинство реальных систем автоматического управления имеют в своем составе нелинейные элементы, в которых выходные величины часто бывают связанными с входными нелинейными зависимостями. В практических расчетах для упрощения задачи прибегают к линеаризации системы с большей или меньшей точностью, заменяя нелинейные элементы линейными. Если это не удается сделать, то для сохранения точности расчетов используют ЭВМ.

Такую методику отыскания положения точек 1 и 2, отражающих статические состояния ключевого каскада, можно использовать и в том случае, когда в.а.х. ключевого элемента в замкнутом и разомкнутом состояниях изображаются нелинейными зависимостями.

где f (/) ~- функция на входе системы; хг — функция на выходе системы, а коэффициенты уравнения являются комбинациями параметре в системы и в общем случае могут определяться нелинейными зависимостями,

и в том случае, когда в.а.х. ключевого элемента в замкнутом и .разомкнутом состояниях изображаются нелинейными зависимостями.