Нелинейных уравнений

Внешняя обратная связь может осуществляться по току или по напряжению нагрузки ( 3.16, а, б), на четных гармониках ( 3.16, б) или другими способами, обеспечивающими получение определенного вида статической характеристики (например, по напряжению дросселя или с использованием нелинейных сопротивлений в цепи обратной связи к пр.).

Здесь индекс п означает порядковый номер приближения. Следовате2(«+п — п ~г" '"е приближения тока /t и напряжения a rln и г2/г я-е приближения статических сопротивлений н. э. Для выбора первого приближения, как указывалось выше, характеристики нелинейных сопротивлений заменяются прямыми ( 1-18, б). Тогда нелинейный элемент н. э.-1 представляется в виде э. д. с. Е1 = 6 в и линейного сопротивления г = гд1 = 3 ом, а нелинейный элемент н. э.-2 в виде э. д. с. Яг = 2,5 в и линейного сопротивления г = ГД2 = 4 ол.

Нелинейность характеристик некоторых нелинейных сопротивлений обусловлена изменением температуры в результате нагрева их током. Так как тепловые процессы (нагревание и охлаждение) являются инерционными процессами, то даже при сравнительно низкой частоте (напри-

Методом кусочно-линейной аппроксимации вольт-амперных характеристик нелинейных сопротивлений, содержащихся в заданной электрической цепи, можно получить результирующую эквивалентную схему замещения всей цепи. В зависимости от постановки задачи может потребоваться построение вольт-амперной характеристики этой цепи или передаточной характеристики (например, зависимости выходного напряжения от входного).

В аналитических расчетах методом основной гармоники пользуются понятием сопротивления н. э. по основной гармонике, подразумевая под этим отношение действующих значений напряжения и тока основной гармоники. Это касается как нелинейных сопротивлений, так и нелинейных

В качестве альтернативы по отношению к электровзрывным коммутаторам ведутся разработки в направлении реостатной коммутации [2.2], когда рабочая перемычка не разрушается под действием тока, а многократно изменяет свое сопротивление (в десятки и сотни раз) из-за нагрева током. Например, при нагревании ленты из стального сплава от температуры жидкого азота до 600° С ее сопротивление меняется в 70 раз [2.2]. Для других материалов (нелинейных сопротивлений) эта цифра достигает 250 [2.14]. Реостатная коммутация может реализовываться устройствами со ступенчатым изменением сопротивления и скользящими контактами [2.2]. Обычно коммутатор реостатного типа используется на первых ступенях коммутации с последующим обострением переключения тока во времени.

1. Для всех нелинейных магнитных сопротивлений эквивалентной схемы замещения ( 6.25), имеющих ферромагнитные участки магнитопро-вода, произвольно задают значения относительной магнитной проницаемости Мт;>1, где j—количество нелинейных сопротивлений. Для немагнитных участков ц,= 1.

двухполюсная машина. В двухфазной машине — четыре обмотки и уравнений напряжения также четыре (минимальное число уравнений по сравнению с числом уравнений в однофазной, трехфазной и m-фазной машинах). Исследуется идеализированная машина с гладким воздушным зазором без пазов на роторе и статоре, с обмотками в виде токовых слоев, имеющих синусоидальное распределение МДС. Она ненасыщенна, не имеет нелинейных сопротивлений, поэтому при питании обмоток синусоидальным напряжением поле в воздушном зазоре синусоидальное.

Обобщенная электрическая машина — двухполюсная двухфазная симметричная идеализированная машина, имеющая две пары обмоток на роторе и статоре ( 2.1). Здесь w,a, w,p — число витков обмотки статора по осям а и Р; wm, w$ — число витков обмотки ротора по осям а и Р; ит, и$, и^, и$ — соответственно напряжения по осям а и и на статоре и роторе; сог — угловая скорость ротора. Рабочие процессы в многополюсной машине можно свести к процессам в двухполюсной, поэтому обычно рассматривается двухполюсная машина. В двухфазной машине — четыре обмотки и уравнений напряжения также четыре (минимальное число уравнений но сравнению с числом уравнений в одно-, трех- и w-фазной машинах). Исследуется идеализированная машина с гладким воздушным зазором без пазов на роторе и статоре, с обмотками в виде токовых слоев, имеющих синусоидальное распределение МДС. Она ненасыщена, не имеет нелинейных сопротивлений, поэтому при питании обмоток синусоидальным напряжением поле в воздушном зазоре синусоидальное.

= 2,4-103 ом, вольтамперные характеристики нелинейных сопротивлений заданы уравнением

При расчете электрических цепей с последовательным включением нелинейных (или линейных и нелинейных) сопротивлений /?i и Rz ( 2.1.1) вольт-амперные характеристики соответствующих сопротивлений l\(U) и I^U) представляются в общей координатной системе и по ним строится общая вольт-амперная характеристика l(U) всей нелинейной электрической цепи ( 2.1.2), абсцисса каждой из точек которой при заданном токе / (заданной ординате) находится как сумма соответствующих падений напряжения (t/=t/-f t/2) на этих сопротивлениях R\ и /?2, поскольку при последовательном соединении по сопротивлениям протекает, один и тот же ток / цепи. Таким образом, по общей вольт-амперной характеристике 1(11) нелинейной цепи при заданном значении напряжения U и последовательном соединении сопротивлений легко определяют ток / в нелинейной цепи, а по заданному току / находят напряжение U, подводимое к неживой цепи, и напряжения l/i и С/2 на каждом из последовательно соединенных сопротивлений.

В конце 40-х — начале 50-х годов Л. И. Гутенмахе-ром, Н. С. Николаевым, Н. В. Корольковым, В. Б. Ушаковым и Г. М. Петровым создаются электроинтеграторы на активных четырехполюсниках (см. 1.2) для моделирования обыкновенных линейных и нелинейных уравнений. Создание этих интеграторов открыло возможности исследовать методом математического и полунатурного (с включением в контур моделирования некоторых реальных приборов автоматического управления, например автопилотов) моделирования сложные динамические системы. В частности, стало возможным заменить некоторые летные исследования наиболее опасных режимов полета новых самолетов их полунатурным моделированием [19].

О важности развития методов математического моделирования с применением супер-ЭВМ свидетельствует и такой факт. Большинство явлений в природе, почти все характеристики сложных инженерных сооружений и объектов описываются нелинейными системами уравнений. Невозможность для большинства систем нелинейных уравнений получить аналитическое решение, с одной стороны, и слабость вычислительных средств для их решения численными методами, с другой стороны, приводили к необходимости замены этих уравнений линейными постановками. При этом не только терялась точность и достоверность решений, но и упускались возможности нахождения оптимальных решений, вытекающих из наличия экстремальных точек в решениях нелинейных систем. Математическое моделирование с применением супер-ЭВМ открывает новые возможности для ученых и конструкторов в самых различных областях науки и техники.

Физическое моделирование вьшрямителя помимо снятия трудностей математического моделирования нелинейных уравнений и логических действий позволяет учитывать реальные характеристики вентильных элементов. Особенно это эффективно при моделировании процессов в системах с управляемыми выпрямителями в сравнении с моделированием на ЭВМ по уравнениям (3.38) и (3.51)—- (3.54).

решений рассмотрены, например, в [2.25. 58]. Построение математической модели УМ на основе нелинейных уравнений Лагранжа (с учетом магнитных, электрических и механических нелинейностей) проведено в [5.14].

В заключение поясним способ совместного решения уравнений (4.2) и (4.4) для нахождения X и Хн. Будем считать, что известны начальные условия, т. е. значение вектора состояния для момента ^о=0, иначе Х(0). Подставляют Х(0) в (4.4) и решают систему нелинейных уравнений (4.4). При этом находится значение Хн(0). Далее подставляют найденное Хн(0) в (4.2), проводят шаг интегрирования системы дифференциальных уравнений и находят Х(Г). Подставляют затем Х(7') в (4.4) и решают повторно систему нелинейных уравнений, определяя Хн(71) и т. д.

Метод Ньютона — Рафсона. Этот метод является развитием метода Ньютона для решения систем нелинейных уравнений.

Итерационный метод Бройдена, алгоритм которого изложен в § 5.1, реализован в программе 5.1. Исходными данными для программы служат система нелинейных уравнений и начальное приближение решения этой системы. По заданным начальным приближениям в программе производится многократное уточнение этого приближения, пока не будет достигнута требуемая точность решения.

Принятые обозначения. В программе 5.1 задействованы следующие имена переменных: N — число уравнений и переменных; X(l),..., X(N) — начальное приближение переменных и получаемое решение; Ml — максимально допустимое число итераций; Е — допустимая погрешность решения; F(l),. ..,F(N) — система нелинейных уравнений в форме F(I)=0; H — двумерный массип

Программа 5.1. Решение нелинейных уравнений методом Брой-дена (расчет статического режима)

зался существенно разным для различных значений L ( 2.3, б) и минимальным, когда L = iafl:^,lopniin = &,,op(LaJ. При изменении яркости поля адаптации зависимости fc,Iop(L) смещаются, но минимум всегда соответствует L — L№. Минимумы кривых knop(L) (значения kimpmm) лежат на штриховой кривой, полученной Э. Вебе-ром. Если построить каждую из полученных зависимостей (снятых при Цл, 1а'д и т. д.) в виде km,p/kaopm-m =
Такая схема, напоминающая схему расчета методом конечных элементов, имеет особенность. Некоторые из элементов схемы, воспроизводящих проводимость воздушного зазора, непостоянны и рассчитаны заранее с помощью сеток методами конечных разностей, конечных элементов или аналитическим путем методами конформных преобразований. В память ЭВМ заложены данные этого расчета в виде аппроксимирующих кривых или таблиц. Зубцы и ярма сердечников разбиваются на ряд элементов, размеры которых без внесения заметной погрешности можно выбрать значительно более крупными, чем в методе конечных разностей или конечных элементов. Нелинейные характеристики этих элементов определяют исходя из зависимостей B—f(H) соответствующих материалов. Так же, как и в других методах, магнитная проницаемость внутри отдельного элемента считается постоянной. Магнитное состояние элементов сердечников задается ориентировочно и уточняется при решении системы получившихся нелинейных уравнений методом Ньютона. Расчетная схема по методу проводимости зубцовых контуров при высокой точности воспроизведения поля, особенно в зоне зазора, имеет относительно невысокий порядок, что дает возможность расчета полей при переходных процессах в электрических машинах с учетом влияния зубчатости сердечников, дискретности структуры обмоток, насыщения, наведенных токов. Уравнения всех контуров записываются без дополнительных координатных преобразований.