Нелинейных алгебраических

Нелинейные элементы получают в настоящее время все более широкое распространение, так как они дают возможность решать многие технические задачи. Так, с помощью нелинейных элементов можно осуществить преобразование переменного тока в постоянный, усиление электрических сигналов, генерирование электрических сигналов различной формы, стабилизацию тока и напряжения, изменение формы сигналов, вычислительные операции и т. д. Нелинейные элементы широко используются в радиотехнических устройствах, в устройствах промышленной электроники, автоматики, измерительной и вычислительной техники.

Важнейшей характеристикой нелинейных элементов является вольт-амперная характеристика (в. а. х.), представляющая собой зависимость между током нелинейного элемента и напряжением на его выводах: I(U) или U(I).

У нелинейных элементов в. а. х. весьма разнообразны и для некоторых из них даны на 1.21, б — е. Там же приведены

Имея в. а. х. нелинейного элемента, можно определить его сопротивления при любых значениях тока или напряжения. Различают два вида сопротивлений нелинейных элементов: статическое и дифференциальное.

К нелинейным электрическим цепям применимы основные законы электрических цепей, т. е. закон Ома и законы Кирхгофа. Однако расчет нелинейных цепей значительно труднее, чем линейных. Объясняется это тем, что кроме токов и напряжений, подлежащих обычно определению, неизвестными являются также зависящие от них сопротивления нелинейных элементов.

1.23. К построению в. а. х. электрической цепи при последовательном соединении нелинейных элементов

нелинейных элементов ( 1.23, а), т. е.

Задавшись несколькими значениями тока /, по в. а. х. / ((7,) и l(U2) нелинейных элементов г, и г2 находят соответствующие напряжения l/i и U2, после чего согласно выражению (1.42) определяют напряжение U и строят в. а. х. / (U).

При параллельном соединении двух нелинейных элементов ( 1.24) для построения в. а. х. / (U) эквивалентного нелинейного элемента гэ ( 1.25) необходимо воспользоваться тем, что при любом значении напряжения U токи связаны соотношением

Задавшись несколькими значениями напряжения V, по в. а. х. It (U) и 12(U) ( 1.25) нелинейных элементов г, и г2 находят соответствующие токи 7, и /2, после чего согласно (1.43) определяют ток / и строят в. а. х. I (U).

При смешанном соединении нелинейных элементов следует сначала построить ВАХ участка с параллельным соединением элементов. После этого можно перейти к построению ВАХ всей цепи. Имея в распоряжении все ВАХ, нетрудно определить токи и напряжения всех элементов цепи.

Нелинейные электрические модели постоянного тока широко используют для исследования неэлектротехнических объектов, работа которых описывается системой нелинейных алгебраических уравнений. Наличие нелинейных зависимостей значительно усложняет аналитические исследования объектов, и для анализа их работы особенно эффективно применение электрических моделей.

5.1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ

Существует два подхода к расчету статического режима. Один из них заключается в том, что из схемы исключаются все реактивные элементы и формируется математическая модель полученной цепи, которая в общем случае представляет собой нелинейную резистивную схему. В этом случае математическая модель представляет собой систему нелинейных алгебраических уравнений, решая которую с помощью того или иного численного метода, можно найти значения токов и напряжений на резистив-ных элементах.

Другой подход состоит в том, что в случае отсутствия сигналов на входах цепи, а также в стационарном режиме токи и напряжения в элементах цепи не зависят от времени. Следовательно, производная вектора переменных состояния в левой части уравнения состояния может быть приравнена нулю. В этом случае также получается система нелинейных алгебраических уравнений, решая которую, можно найти токи и напряжения не только на резистивных, но и на реактивных элементах в статическом режиме.

Пример 5.1. Решить систему двух нелинейных алгебраических уравнений:

5.1. Методы решения нелинейных алгебраических уравнений .... 114

Функционал (1.30) обладает тем свойством, что любая минимизирующая его функция удовлетворяет как дифференциальным уравнениям (1.29), так и граничным условиям. При нелинейных зависимостях процесс минимизации сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений. Для этого чаще всего используется метод Ньютона — Рафсона, обеспечивающий хорошую сходимость.

интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений не применимы для ее решения без дополнительных процедур. Наиболее приспособленными для этих целей являются численные методы и алгоритмы в канонической и неявной формах, не требующие специального обращения матрицы Якоби и решения нелинейных алгебраических уравнений.

Математическое обеспечение САПР ЭМ можно подразделить на общее, специальное, сервисное управление базой данных и программное управление диалогом. Общее математическое обеспечение, инвариантное объекту проектирования, составляют пакеты прикладных программ решения общематематических задач различных классов: математического программирования, систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений, систем дифференциальных уравнений, математической статистики и т. п.

ной задачи оптимизации; хр — полученные из расчета машины зна чения параметров Т-образной схемы замещения и момента инер ции; fH — величины, необходимые для расчета характеристик намагничивания стали и данные для учета вытеснения тока в стержнях ротора; fM — все остальные расчетные значения асинхронной машины; Ср — исходная информация и постоянные величины, необходимые для решения системы дифференциальных и нелинейных алгебраических уравнений; fL — полные данные характеристик намагничивания; fb, \ъ' — команды и варьируемые данные дли расчета характеристик намагничивания; fs — данные частотных характеристик асинхронной машины, используемые для учета эффекта вытеснения тока в стержнях ротора; С0 — показатели, один из которых— целевая функция, остальные — ограничивающие функции; fT — результаты расчета переходного процесса машины.

Функционал (1.39) обладает тем свойством, что любая минимизирующая его функция удовлетворяет как дифференциальным уравнениям (1.37), так и граничным условиям. При нелинейных зависимостях процесс минимизации сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений. Для этого чаще всего используется метод Ньютона— Рафсона, обеспечивающий хорошую сходимость.