Нелинейные колебания

Возможны два подхода к анализу уравнений электромеханического преобразования энергии с нелинейными коэффициентами. Один из них состоит в том, чтобы в уравнениях вместо постоянных коэффициентов использовать нелинейные коэффициенты. Второй подход состоит в замене уравнений с нелинейными коэффициентами бесчисленным числом линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Пространственная модель' машины с нелинейными коэффициентами с одной парой обмоток на статоре и роторе показана ни 9.1. Схеме машины 9.1 соответствуют уравнения (9.1)-(9.3):

Возможны два подхода к анализу уравнений электромеханического преобразования энергии с нелинейными коэффициентами. Один из них состоит в том, чтобы в уравнениях вместо постоянных коэффициентов использовать нелинейные коэффициенты. Второй подход состоит в замене уравнений с нелинейными коэффициентами бесчисленным числом линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

14.19. При составлении уравнения все нелинейные коэффициенты выразить в зависимости от заряда. Принять, что вариация решения и его производной имеют одинаковый порядок малости.

Теперь выберем дерево. Очевидно, что заданные последовательные переменные должны входить в дополнение, а искомая параллельная переменная 62— в дерево. Для вывода уравнений можно воспользоваться методом ветвей, так как полюсные уравнения разрешены относительно последовательных переменных. Система содержит нелинейные компоненты, характеризуемые полюсными уравнениями с нелинейными коэффициентами. Эти нелинейные коэффициенты являются функциями тех же переменных, яа которые они умножаются в полюсных уравнениях. Будем в дальнейшем такие нелинейности называть собственными, так как они зависят от «своих» переменных. При использовании метода ветвей в результирующие уравнения в качестве неизвестных переменных входят параллельные переменные ветвей. Поэтому включим параллельные переменные 62, бз, 6$ и б?, которые являются аргументами нелинейных функций, в дерево графа системы, изображенное на 3-10,г.

(3-113) нелинейные коэффициенты и /(7(67) умножаются на «свои» переменные 62, бз, 'бз и бу. Это не случайность. Действительно, мы выбрали дерево так, чтобы сохранить переменные 02, 63, 6s и б? в уравнениях системы. Кроме того, все матричные операций, которые использовались при выводе уравнений, линейны, так как коэффициенты полюсных уравнений умножались на постоянные числа (О, 1, —1), входящие в матрицы коэффициентов уравнений отсечений и фундаментальных контуров, и складывались.

В дерево должны войти заданные переменные и» и UM, а также искомые переменные фь «р^ и ф6. В дополнение входит заданный момент М3. Теперь мы не можем включить в дерево все «овои» переменные, от которых зависят нелинейные коэффициенты. Поэтому выберем остальные ветви дерева так, чтобы в дерево вошло максимально возможное число «своих» переменных. Выбранное таким образом дерево приведено на 3-11,5.

В этом примере вновь операции над матрицами были линейными, и благодаря этому можно было рассматривать нелинейные коэффициенты в полюсных уравнениях

компонент как некоторые функции от «своих» перемен-'ных, умножаемых на эти переменные. В результирующих уравнениях эти нелинейные коэффициенты умножаются на «свои» переменные либо на линейную комбинацию других переменных, выражающих в конечном итоге «свою» переменную (через уравнения фундаментальных контуров, как в рассмотренном выше примере, или через уравнения отсечений, если для вывода уравнений используется метод хорд).

В уравнения системы входит ток г'6, а нелинейные коэффициенты L7 и /Сг являются функциями тока i?. Однако из графа системы видно, что

Во многих нелинейных колебательных электрических цепях при установившемся режиме изменение во времени тока в колебательном контуре весьма близко к синусоидальному. Это означает, что в уравнении члены, содержащие нелинейные коэффициенты, малы по сравнению с остальными членами. В таких случаях может быть применен так называемый метод медленно меняющихся амплитуд, называемый также методом Ван-дер-Поля. Ниже этот метод будет изложен на примере анализа тока в колебательном контуре и напряжения на сетке лампы, пропорционального производной от этого тока во времени. Уравнение для тока в колебательном контуре имеет вид (§ 4-6)

Во многих нелинейных колебательных электрических цепях при установившемся режиме изменение во времени тока в колебательном контуре весьма близко к синусоидальному. Это означает, что в уравнении члены, содержащие нелинейные коэффициенты, малы по сравнению с остальными членами. В таких случаях может быть применен так называемый метод медленно меняющихся

о— большие, нелинейные колебания мощности Р (6) и угла 6(t); б — изменение доли высших гармоник колебаний угла б при бо—О"; в — изменение доли второй гармоники при увеличении амплитуды первой гармоники колебаний вплоть до критической точки неустойчивого равновесия (ai/ajKp—1); г — зависимость а0 (о,), полученная по формуле ao=arcsm [sin6o//o(al)]; д — зависимость функции Бесселя /o(«i) от аргумента а\\ « — зависимость <*iKp от sin6i>; ж — изменение собственной частоты с ростом амплитуды колебаний — свойство изохронности

12. Литкенс И. В. Нелинейные колебания в регулируемых электрических системах. — М.: Изд. МЭИ, 1974.— 144 с.

В. Нелинейные колебания в регулируемых электрических сис-

8.9. Нелинейные колебания в простой электрической системе:

Нелинейные колебания. Для них характерно появление гистерезисных явлений, т. е. неоднозначность параметров колебаний при медленном увеличении и уменьшении частоты вынуждающей силы. Участок СЕ существует только при уменьшении частоты колебаний, а участок р'В — только при увеличении частоты. В точке Е происходит срыв амплитуды, а в точке В — скачок амплитуды.

* См.: Л и т к е н с И. В. Нелинейные колебания в регулируемых электрических сис-

10. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. М., «Мир», 196&Ч 432 с.

См., например, Д ж Стокер. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. Изд-во иностранной литературы, 1953.

46. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. «Мир», 1968.

Литкенс И. В. Нелинейные колебания в регулируемых электрических системах.-М.: МЭИ, 1974.

7.29. Нелинейные колебания в простой электрической системе: