Нелинейные характеристики

В рассмотренных выше примерах нелинейные дифференциальные уравнения интегрировались непосредственно.

К сожалению, на практике чаще встречаются нелинейные дифференциальные уравнения, для которых точное аналитическое решение отсутствует.

1. Аналого-вычислительное устройство, которое является основным устройством всех вышеперечисленных моделей АВК-2, АВУ-ii решает линейные и нелинейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами до 10-го порядка и имеет технические данные:

Дифференциальные уравнения, описывающие электромеханические переходные процессы, как правило, нелинейны, что сопряжено с определенными трудностями при их решении. Применение вычислительных машин дает возможность без существенных упрощений и допущений интегрировать нелинейные дифференциальные уравнения.

уравнения интегрировались непосредственно. К сожалению, на практике чаще встречаются нелинейные дифференциальные уравнения, для которых точное аналитическое решение отсутствует.

Приступая к расчету токов и напряжений или к исследованию условий существования того или иного явления, надлежит правильно поставить саму задачу, принимая во внимание то главное, что оказывает решающее влияние на процессы в цепи, и пренебрегая относительно второстепенными факторами. Если этого не сделать, задача может оказаться трудноразрешимой, а само решение, если оно будет получено, — малообозримым. Однако и после ряда упрощающих допущений процессы в нелинейных цепях описываются одним или несколькими нелинейными дифференциальными уравнениями, точное решение которых, как правило, неизвестно. Поэтому возникает задача о том, каким образом можно решать нелинейные дифференциальные уравнения приближенно, применяя для этой цели специфические методы, разработанные для нелинейных цепей, а также приемы, рассмотренные в первой части курса для линейных цепей, используемые при кусочно-линейной аппроксимации характеристик нелинейных элементов.

2) подстановка в нелинейные дифференциальные уравнения уравнений прямых п. 1 (этим нелинейные дифференциальные уравнения будут сведены к линейным). Каждому нелинейному уравнению будет соответствовать столько линейных уравнений, сколько отрезков прямых заменяют характеристику нелинейного элемента;

ЭВМ применяют для: а)табулирования решений систем трансцендентных уравнений и систем алгебраических уравнений высоких степеней; б) табулирования решений, выраженных в виде медленно сходящихся рядов; в) интегрирования систем линейных дифференциальных уравнений, к которым сводятся нелинейные дифференциальные уравнения при кусочно-линейной аппроксимации характеристик нелинейных элементов; г) численного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений, в которых ВАХ нелинейных элементов представлены аналитически, а также в некоторых других случаях.

§ 16.7. Метод малого параметра. Нелинейные дифференциальные уравнения иногда решают путем последовательных приближений, представляя искомую величину х в виде ряда по степеням некоторого коэффициента ц, который называют малым параметром:

Задачи исследования статической устойчивости простой электрической системы с регулируемым возбуждением синхронной машины решаются по методике, изложенной в § 9.1. В соответствии с ней нужю записать исходные нелинейные дифференциальные уравнения, провести линеаризацию нелинейных функций по первому приближению, записать характеристический определитель линеаризованной системы уравнений и из него получить характеристическое уравнение в виде многочлена по степеням р.

10.8. Какие нелинейные функции вводятся в исходные нелинейные дифференциальные уравнения и как проводится линеаризация по первому приближению?

Примеры таких характеристик приведены на 1.2, а, б, в. Элементы цепей, в.а.х., вб.а.х. и к.в.х. которых линейны, называют линейными элементами (л. э.). Нелинейные характеристики имеют нелинейные элементы (н.э.).

Динамике лебедки с учетом свойств колонны посвящены работы многих исследователей. Во многих работах в основном учитываются, с той или иной степенью точности, свойства колонны и каната, но система привода представляется весьма упрощенно: момент привода принимается либо постоянным, либо изменяющимся по определенному закону в функции времени. Первыми попытками учесть влияние механических характеристик привода лебедки были работы Д. И. Марьяновского и А. М. Омаровой [62], К. Н. Кулизаде и А. А. Саидова [42, 78]. Наиболее подробно эти вопросы исследованы в работе [78], где приведены аналитические выражения для усилий и скоростей в динамических режимах. Однако использование этой методики затруднительно для тех случаев, когда элементы привода имеют нелинейные характеристики. Наиболее точная математическая модель бурильной колонны получена в работах М. Г. Эскина и Э. А. Вольгемута [23] применительно к исследованиям регулятора подачи долота. Эта модель была упрощена В. X. Исаченко. Упрощение заключается в том, что колонна заменяется эквивалентной «цепной» системой с ограниченным числом звеньев.

Нелинейные характеристики н. э. задаются обычно в виде кривых, снятых экспериментально. Замена заданной нелинейной характеристики аналитической функцией, приближенно выражающей заданную зависимость, называется аппроксимацией нелинейной характеристики. Точная аппроксимация характеристик обычно приводит к сложным математическим выражениям, что сильно затрудняет анализ. Кроме того, и сами нелинейные характеристики не являются абсолютно точными и стабильными: они зависят от различных внешних факторов (температуры и т. д.); характеристики разных образцов одного и того же типа н. э. не идентичны. Поэтому на практике не стремятся к особо точной аппроксимации характеристик.

При малых колебаниях нелинейные характеристики заменяются линейными и поведение системы описывается линейными дифференциальными уравнениями, решение которых имеет вид:

На практике нашли применение приближенные методы расчета — аналитические и графо-аналитические. Аналитические методы расчета заключаются в аналитическом интегрировании дифференциальных уравнений, в которых нелинейные характеристики аппроксимируются аналитическими функциями. Графо-аналитические методы расчета не требуют аналитической аппроксимации характеристик; решение находится графическими построениями, сопровождаемыми некоторыми дополнительными вычислениями.

На 1.1, б, в показаны внешние характеристики источников и приемников: 1, 3 — линейные, 2 — нелинейные характеристики (см. раздел второй).

Такая схема, напоминающая схему расчета методом конечных элементов, имеет особенность. Некоторые из элементов схемы, воспроизводящих проводимость воздушного зазора, непостоянны и рассчитаны заранее с помощью сеток методами конечных разностей, конечных элементов или аналитическим путем методами конформных преобразований. В память ЭВМ заложены данные этого расчета в виде аппроксимирующих кривых или таблиц. Зубцы и ярма сердечников разбиваются на ряд элементов, размеры которых без внесения заметной погрешности можно выбрать значительно более крупными, чем в методе конечных разностей или конечных элементов. Нелинейные характеристики этих элементов определяют исходя из зависимостей B—f(H) соответствующих материалов. Так же, как и в других методах, магнитная проницаемость внутри отдельного элемента считается постоянной. Магнитное состояние элементов сердечников задается ориентировочно и уточняется при решении системы получившихся нелинейных уравнений методом Ньютона. Расчетная схема по методу проводимости зубцовых контуров при высокой точности воспроизведения поля, особенно в зоне зазора, имеет относительно невысокий порядок, что дает возможность расчета полей при переходных процессах в электрических машинах с учетом влияния зубчатости сердечников, дискретности структуры обмоток, насыщения, наведенных токов. Уравнения всех контуров записываются без дополнительных координатных преобразований.

Такая схема, напоминающая схему расчета методом конечных элементов, имеет свои особенности. Некоторые из элементов схемы, воспроизводящих проводимость воздушного зазора, непостоянны и рассчитаны заранее с помощью сеток методами конечных разностей, конечных элементов или аналитическим путем методами конформных преобразований. В память ЭВМ заложены данные этого расчета в виде аппроксимирующих кривых или таблиц. Зубцы и ярма сердечников разбиваются на ряд элементов, размеры которых без внесения заметной погрешности можно выбрать значительно более крупными, чем в методе конечных разностей или конечных элементов. Нелинейные характеристики этих элементов определяют, исходя из зависимостей В = /Я) соответствующих материалов. Так же как и в других методах, магнитная проницаемость внутри отдельного элемента считается постоянной. Магнитное состояние элементов сердечников задается ориентировочно и уточняется при решении системы полученных нелинейных уравнений методом Ньютона. Расчетная схема по методу проводимости зубцовых контуров при высокой точности воспроизведения поля, особенно в зоне зазора, имеет относительно невысокий порядок, что дает возможность расчета полей при переходных процессах в электрических машинах с учетом влияния зубчатости сердечников, дискретности структуры обмоток, насыщения и наведенных токов. Уравнения всех контуров записываются без дополнительных координатных преобразований.

Устройства сбора информации управляются устройством управления коммутацией и преобразованием УУКП. Последнее содержит устройство линеаризации и масштабирования УЛМ, позволяющее линеаризовать нелинейные характеристики первичных ИП. Устройство управления коммутацией и преобразованием принимает;

Условие составления уравнений упрощается, если все нелинейные характеристики однозначно определены, т. е. каждому значению функции (аргумента) соответствует только одно значение аргумента (функции). При этом выбор состава подграфов дерева и связей может быть подчинен только общим требованиям, ранее изложенным для линейных электрических цепей.

Одна из важнейших особенностей ЭВМ заключается в возможной организации логических заключений применительно к нелинейным электрическим цепям, что обеспечивает выполнение условия однозначности численного решения. Нелинейные характеристики в памяти ЭВМ могут быть записаны в виде численных таблиц, подпрограмм, представляющих описание аналитических выражений, а также подпрограмм, определяющих способ обращения к этим данным.