Независимых замкнутых

и по второму закону Кирхгофа - два (К = 2) независимых уравнения, например для контура 1 и 2

3. При выбранных положительных направлениях токов и напряжений составим У — 1=3— 1 =2 независимых уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов а и Ь\

и К =В - Bj -У+1=5-1-3+1=2 независимых уравнения по это-рому закону Кирхгофа для контуров 1 и 2 (без источников тока!):

и по второму закону Кирхгофа — два (А' = 2) независимых уравнения, например для контура 7 и 2

3. При выбранных положительных направлениях токов и напряжений составим У — 1=3 — 1=2 независимых уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов а и Ь\

и К =В - В. - У + 1 =5-1 -3+1=2 независимых уравнения по второму закону Кирхгофа для контуров 1 и 2 (без источников тока!):

: 2) независимых уравнения, (1.96)

3. При выбранных положительных направлениях токов и напряжений составим У — 1 = 3 - 1 = 2 независимых уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов а и Ь:

и К =В — В. — У + 1 = 5 -- 1 — 3+1=2 независимых уравнения по второму закону Кирхгофа для контуров 1 и 2 (без источников тока!):

Подразделение (19.29) на два независимых уравнения позволяет проводить расчеты переменного магнитного поля с помощью действительных величин, что существенно уменьшает затраты машинного времени на ЦВМ и в некоторых случаях упрощает составление программы на алгоритмических языках.

Для определения трех неизвестных токов надо составить еще два уравнения по второму закону Кирхгофа. Эти два уравнения следует составить для контуров 1 к 3 ( 1-17). Казалось бы, что третье уравнение можно составить и для контура АтВпА, но это уравнение явилось бы следствием первых двух, т. е. для данной цепи можно составить только два линейно независимых уравнения.

Уравнения по второму закону Кирхгофа записываются для независимых замкнутых контуров. Докажем основное положение геометрии сложных цепей: число независимых контуров Л/к определяется по формуле

Специфика электрических сетей прежде всего состоит в том, что обычно они имеют сложную схему соединений, весьма большую протяженность и часто значительное количество нелинейных ветвей, параметры которых определяются значениями потребляемой или генерируемой мощности. Применяя некоторые приемы приближенных численных решений, возможно линеаризовать схемы замещения электрических сетей. Режим (состояние) всякой линейной электрической цепи, представляющей в схеме замещения электрическую сеть, определяется системой линейных алгебраических уравнений, число которых соответствует числу независимых узлов или независимых замкнутых контуров, образованных электрической сетью. В современных условиях схемы замещения электрических сетей могут содержать десятки и сотни независимых узлов. При этом число независимых замкнутых контуров получается несколько меньшим, но также достаточно большим. Таким образом, для определения рабочего режима электрической сети приходится решать системы, характеризующиеся большим количеством уравнений.

Рассмотрим матрицу коэффициентов распределения токов для разомкнутой схемы. Очевидно, что в разомкнутой схеме число независимых узлов равно числу ветвей, а число независимых замкнутых контуров равно нулю. Поэтому матрица коэффициентов распределения токов здесь получается квадратной. Коэффициенты распределения в данном случае определяются сразу — они могут быть равны или единице, или нулю. Коэффициент распределения равен единице (положительной или отрицательной), если данный независимый узел соединен с узлом баланса цепочкой ветвей, в состав которой входит и рассматриваемая ветвь. Коэффициент распределения равен нулю, если рассматриваемая ветвь не входит в цепочку ветвей, соединяющих данный узел с узлом баланса. В первом случае ток данного узла идет по рассматриваемой ветви, а во втором — не проходит.

Поскольку один из узлов является зависимым, то число в ветвей всегда равно сумме из числа у независимых узлов и числа к независимых замкнутых контуров:

Замкнутая схема, изображенная на 2-1, содержит два независимых замкнутых контура. Поэтому достаточно исключить две ветви, чтобы оставшиеся соединяли все узлы, т. е. составляли дерево схемы. На 2-4 показано одно из возможных деревьев схемы. Подграф, состоящий из хорд, показан на 2-5. В данном случае этот подграф получился связанным, не содержащим замкнутых контуров.

Строки второй матрицы инциденций N соответствуют номерам независимых замкнутых контуров схемы, а столбцы — номерам ветвей. Наличие соединений здесь также определяется коэффициентами инцидентности -\-1, —1 и 0. При этом должно быть выбрано направление обхода каждого контура (независимого, замкнутого). Положительная единица показывает, что данная ветвь входит в состав рассматриваемого контура и имеет то же направление, что и направление контура. Отрицательная единица показывает, что данная ветвь

с каким направлением относительно направления контура. Каждый столбец той же матрицы показывает, в состав каких независимых замкнутых контуров входит данная ветвь и совпадает ли ее направление с направлениями этих контуров.

или, что то же, числу независимых замкнутых контуров в схеме. Вид матрицы N зависит от выбора независимых замкнутых контуров и принятых направлений их обхода. При одной и той же нумерации узлов и ветвей в зависимости от выбора независимых контуров получаются различные матрицы.

Для получения матрицы контуров достаточно из всех этих строк выбрать столько, сколько схема содержит независимых замкнутых контуров, причем эти строки должны быть линейно независимыми. Таким образом, в общем случае имеется некоторая свобода выбора независимых замкнутых контуров, приводящая к некоторому изменению матрицы контуров. При выборе независимых замкнутых контуров можно учитывать дополнительные условия в соответствии с особенностями решения поставленной задачи.

Обычно целесообразно применять такую систему нумерации хорд и независимых замкнутых контуров схемы, чтобы получалась единичная подматрица:

Пример 2-6. Найти матрицу контуров для схемы, изображенной на 2-1. Дерево схемы представлено на 2-4, хорды—на 2-5. Направления обхода независимых замкнутых контуров 1 и 2 совпадают с направлением хорд 4 и 5 (матрица N3 = 1).