Независимых уравнений

Так как производственные погрешности носят случайный характер, то при суммировании независимых составляющих отклонения выходного параметра воспользуемся основными правилами теории вероятности: алгебраическим суммированием средних значений; квадратичным суммированием среднеквадратических отклонений.

Согласно центральной предельной теореме нормальное распределение имеет погрешность, являющаяся суммой достаточно большого числа независимых составляющих, ни одна из которых не является доминирующей. При этом составляющие погрешности могут иметь и различные распределения.

Законы распределения погрешностей средств и результатов измерений зависят от видов законов распределения элементарных погрешностей, их количества, соотношения между их значениями и связей между ними. Определение законов распределения суммы независимых составляющих по законам распределения слагаемых называется композицией законов распределения, которая может быть осуществлена аналитически с помощью интеграла свертки с использованием понятия характеристической функции, а также графическим путем.

Согласно центральной предельной теореме нормальное распределение имеет погрешность, являющаяся суммой достаточно большого числа независимых составляющих, ни одна из которых не является доминирующей. При этом составляющие погрешности могут иметь и различные распределения.

Законы распределения погрешностей средств и результатов измерений зависят от видов законов распределения элементарных погрешностей, их количества, соотношения между их значениями и связей между ними. Определение законов распределения суммы независимых составляющих по законам распределения слагаемых называется композицией законов распределения, которая может быть осуществлена аналитически с помощью интеграла свертки с использованием понятия характеристической функции, а также графическим путем.

Он наблюдается, например, при протекании синусоидального тока через тонкий слой жидкого металла в жидкометаллических контактах. Тепловой поток выражается но закону (7.54) в виде двух независимых составляющих. Действие постоянной составляющей (<7о/2) изучено выше. Действие переменной составляющей в соответствии с (7.48) может быть описано интегралом

При определении погрешностей необходимо производить достаточно большое число независимых измерений, а согласно математической статистике для большого числа независимых составляющих, без резко доминирующих, закон распределения приближается к нормальному (гауссовско-му):

где знак ± означает, что для составляющих с положительной корреляцией ot и dim нужно брать со знаком плюс, а для составляющих с отрицательной корреляцией — со знаком минус; б) для независимых составляющих (г// = 0)

б) для независимых составляющих

Первый способ базируется на центральной предельной теореме: если число суммируемых .независимых составляющих достаточно велико (практически при п Ss 5) 1, то результирующий закон распределения близок к нормальному и в качестве коэффициента k^ можно принимать гр.

Второй способ основан на исследовании 2, показавшем, что при суммировании независимых составляющих, имеющих законы распределения, отмеченные в ГОСТ 8.011—72, можно пользоваться (Приближенными значениями ?(/': при доверительной вероятности Р = 0,90 /??'•"" як 1,6, а при доверительной вероятности Р = 0,95 А!'05' ж 1,8. При этом погрешность в определении 62 не превышает 10%.

1.14.1. Метод законов Кирхгофа. Используя первый и второй законы Кирхгофа, можно для любой разветвленной электрической цепи составить необходимое число независимых уравнений и путем их совместного решения найти все подлежащие определению величины, например токи. Решая совместно уравнения, можно установить также зависимость между какими-либо величинами: между током и ЭДС, между двумя токами и т. д.

Рассмотрим сначала расчет режима в цепи без источников тока, т. е. при Bj = 0. Ее расчет сводится к нахождению токов в В ветвях. Для этого необходимо составить У — 1 независимых уравнений по первому закону Кирхгофа и К = В — У+1 независимых уравнений по второму закону Кирхгофа. Соответствующие этим уравнениям узлы и контуры называются независимыми.

Число независимых уравнений по первому закону Кирхгофа на единицу меньше числа узлов потому, что ток каждой ветви входит с разными знаками в уравнения для соединяемых ею узлов. Сумма слагаемых уравнений всех узлов тождественно равна нулю.

2) для полученной схемы замещения в операторной форме составить и решить полную систему независимых уравнений по первому [см. (5.46)] и второму [см. (5.47)] законам Кирхгофа в операторной форме, т. е. найти изображение F(p) искомой величины, например ток

Число неизвестных токов схемы равно числу т ее ветвей. Поэтому для решения задачи необходимо составить систему, состоящую из /72 = 6 независимых уравнений.

уравнений: /j + /2 — /3 + (/4 — - Л) + (/5 -/») + (/в - /в)-= 0 или /! + /2 — /з = 0 получается уравнение, аналогичное уравнению, составленному для узла d. Следовательно, в общем случае уравнение, составленное по первому закону Кирхгофа для узла k, не является независимым, так как оно может быть получено суммированием ранее взятых уравнений для (k —1) узлов. Отсюда следует, что число независимых уравнений, которые можно составить по первому закону Кирхгофа, равно числу узлов схемы без одного (k—1). Так как число ветвей т всегда больше числа узлов k, то недостающее число уравнений т — (k — 1) можно составить, пользуясь вторым законом Кирхгофа для замкнутых контуров. Чтобы каждое из составляемых уравнений было независимо от предыдущих, надо всю схему разбить на независимые контуры. Разбивку следует начинать с выбора простейшего контура (с наименьшим числом ветвей), а затем следить, чтобы каждый следующий контур был независим от предыдущего, для чего в него должна входить хотя бы одна ветвь, не вошедшая в рассмотренные до этого контуры.

Докажем из геометрических соображений, что число независимых уравнений, получаемых на основании законов Кирхгофа {формулы (1.8) и (1.9)], как раз достаточно для решения поставленной задачи.

Для этого заметим, что по первому закону Кирхгофа получается Ny алгебраических уравнений относительно токов ветвей. При этом каждый ток одновременно входит в два уравнения с разными знаками. Как следствие, сумма всех токов по всем узлам автоматически обращается в нуль. Это дает одно условие связи, налагаемое на токи, так что общее число независимых уравнений по первому закону Кирхгофа составляет Ny—1.

что формула (3.1) остается справедливой по-прежнему. Добавляя новые узлы и ветви, можно получить любую сложную цепь; общее число независимых уравнений составит при этом Ny— !+'#„—A/y+l=JVB, что как раз достаточно для нахождения всех токов в ветвях.

Число независимых уравнений, описывающих процессы в сложной цепи, можно существенно сократить, воспользовавшись методом контурных токов, предложенным в свое время Максвеллом.

Алгоритм построения полной системы уравнений по ЗКТ очевиден (если в схеме п узлов, то число независимых уравнений по ЗКТ равно п — 1). Сложнее получается полная система уравнений по ЗКН. Если в схеме m ветвей, то составляются m — (п — 1) независимых уравнений по ЗКН. При этом для составления этих уравнений в схеме должны быть предварительно найдены независимые замкнутые контуры, т. е. такие, в каждом из которых имеется хотя бы одна ветвь, не входящая во все другие контуры. Именно поиск таких независимых контуров и составляет относительную трудность построения полной системы уравнений по ЗКН для цепи со сложной конфигурацией (топологией). Далее рассмотрим алгоритм, по которому могут быть построены уравнения по законам Кирхгофа.