Независимые уравнения

6.14 (Р). Независимые случайные величины X и У имеют заданные плотности вероятности р\(х) и Рг(у) соответственно. Найдите плотность вероятности р3 (z) случайной величины Z=X+ Y.

6.15 (УО). Пусть X и У — две независимые случайные величины, равномерно распределенные на отрезке [О, 1]. Найдите аналитическое выражение функции р(г) — плотности вероятности суммы Z=X+Y этих двух величин.

6.29 (Р). Три независимые случайные величины X, У и Z имеют одинаковые нормальные плотности вероятности р()=ехр(—2/(2о2))/(К2яа), где —символ, соответствующий х, у или г. Пусть (х, у, г) — три декар-,. товы координаты точки в трехмерном пространстве, связанные со сферическими координатами (г, •&, ср) известными соотношениями:

поскольку X и Д неслучайны, а Д( — независимые случайные величины о одинаковыми дисперсиями аа.

поскольку X и Д неслучайны, а Д, — независимые случайные величины с одинаковыми дисперсиями сг2.

Входящие в каждую пару X(t)X(t — т) и Y(t)Y(t— т) сомножители можно рассматривать как новые независимые случайные функции времени. Так как в любой момент времени t мгновенные значения этих функций являются независимыми случайными величинами, то математическое ожидание их произведения равно* произведению математических ожиданий. Поэтому

где аир — независимые случайные начальные фазы, неизменные на протяжении каждой реализации.

Соотношения (4.70) и (4.79) позволяют сделать следующее общее заключение: произведение вида х — A cos 6, в котором Л и 9 — независимые случайные величины, причем А распределена по Ре-лею, а 9 — равновероятна в интервале (— л, л), обладает нормальной плотностью вероятности.

Зависимыми, сильно коррелированными погрешностями обычно^ оказываются погрешности, обусловленные одной общей причиной. Например, если измерительное устройство включает ряд измерительных усилителей, которые питаются от общего источника питания, то при увеличении напряжения питания коэффициенты усиления у всех усилителей будут возрастать, а при уменьшении — падать. Возникающие при этом погрешности отдельных усилителей сильно корре-лированы и подчиняются одному и тому же закону распределения, который обусловлен случайными колебаниями напряжения источника питания. В соответствии с формулой (13.11) такие погрешности должны суммироваться алгебраически, так как в этом случае коэффициенты корреляции равны единице. Если же отдельные усилители питаются от различных независимых источников питания, то погрешности усилителей не коррелированы и их следует суммировать геометрически как независимые случайные погрешности.

Выигрыш ац стороны А имеет место лишь тогда, когда эта сторона применяет свою стратегию Лг-, а ее противник — свою стратегию Bj. Вероятность применения стороной А стратегии А{ равна pi, а ее противником стратегии Bj — q$. Так как применение стратегий Лг- и Bj — независимые случайные события, то вероятность совместного появления этих случайных событий (когда сторона А будет иметь выигрыш, равный ац) будет равна произведению вероятностей применения обеими сторонами соответственно стратегий Лг- и Bj, т. е. равна pi • QJ.

Известно, что для связанных случайных величин характерна вероятностная («стохастическая») зависимость, которая может быть более или менее тесной [59]. Эта зависимость определяется коэффициентом корреляции, причем последний характеризует степень тесноты линейной вероятностной связи. В теории вероятностей доказывается, что две независимые случайные величины всегда являются некоррелированными, однако из некоррелированности случайных величин не всегда следует их независимость.

- электрического поля 11, 42 Насыщение техническое 171 Начальные условия 135 Независимые уравнения 17 Нейтраль геометрическая 153*

— электрического поля 11, 42 Насыщение техническое 171 Начальные условия 135 Независимые уравнения 17 Нейтраль геометрическая 387

- электрического поля 11, 42 Насыщение техническое 171 Начальные условия 135 Независимые уравнения 17 Нейтраль геометрическая 153*

При расчете линейных разветвленных электрических цепей постоянного тока используют независимые уравнения законов Кирхгофа, в которые входят заданные величины э. д. с. Е± и Е2, внутренних сопротивлений г'д и г" источников электрической энергии и сопротивления гг, г2 и г резисторов внешней цепи ( 24, а). Решение системы этих уравнений позволяет найти величины и направления токов и напряжений, относящихся к отдельным элементам электрической цепи.

Например, для цепи 3.12, имеющей р = 6 ветвей, q — 3 узла и р — <7 + 1 — 4 элементарных контура, при указанных на схеме направлениях э. д. с., токов и обхода элементарных контуров, независимые уравнения, составленные по первому и второму законам Кирхгофа, имеют вид:

Узлы, для которых записываются независимые уравнения по первому закону Кирхгофа, можно назвать независимыми узлами. Из сказанного следует, что из общего числа q узлов любые q—1 узлов являются независимыми, а оставшийся последний узел является зависимым.

Узлы, для которых записываются независимые уравнения по первому закону Кирхгофа, можно назвать независимыми узлами. Из сказанного следует, что из общего числа q узлов любые q — 1 узлов являются независимыми, а оставшийся последний узел является зависимым.

Чтобы получить линейно независимые уравнения, по первому закону Кирхгофа составляют уравнения, число которых равно числу узлов без единицы, т. е. у — 1.

Для записи независимых уравнений, входящих в (1-44), используется так называемая матрица отсечений Q, а полученные в результате независимые уравнения называются уравнениями отсечений.

Для записи независимых уравнений, входящих в (1-45), используется так называемая матрица фундаментальных контуров Ж, а полученные в результате независимые уравнения называются уравнениями фундаментальныхконтуров.

По графу системы мы можем записать уравнения (1-44) и (1-45), характеризующие структуру системы, из которых лишь часть будут независимыми. Выбор независимых уравнений, как было показано в§ 1-6, 1-7, определяется принятым деревом (лесом) графа. Независимые уравнения, характеризующих структуру, а именно уравнения фундаментальных контуров (1-53) и уравнения отсечений (1-49), совместно с полюсными уравнениями компонент дают полное математическое описание системы. Дальнейшая наша цель — представление этих