Независимые источники

Релеевское распределение. Релеевское распределение часто используется как модель для статистию сигналов, переданных через радиоканалы, таких как, например, в сотовой радиосвязи. Это распределена тесно связано с центральным хи-квадрат-распределением. Чтобы это проиллюстрировать, положим, чти JXYf+A';,2, где-Vi иХ2- статистически независимые гауссовские случайные величины с нулевыми средними i одинаковой дисперсией а2. Из изложенного выше следует, что Y имеет хи-квадрат-распределение с двум степенями свободы. Следовательно, ФПВ для Y f

Распределение Раиса. В то время как распределение Релея связано с центральным хи-квадрат-распределением, распределение Раиса связано с нецентральным хи-квадрат-распределением. Чтобы проиллюстрировать эту связь, положим Y=X\2+X^, где Х\ и Х2 - статистически независимые гауссовские случайные величины со средним от,, /=1, 2 и одинаковой дисперсией ст2. Из предыдущего рассмотрения мы знаем, что Y имеет нецентральное хи-квадрат-распределение с параметром отклонения *2=от12+т22. ФПВ для Y получаем из (2. 1 . 1 1 8), а при п=2 находим

2.5. а) Пусть Хг и Xt - статистически независимые гауссовские случайные величины с нулевыми средними и одинаковыми дисперсиями. Покажите, что преобразование (поворот) вида Yr +jYj = (Xr + jXi)e^ порождает другую пару (Yr,Yt) гауссовских случайных величин, которые имеют ту же СФПВ, что и пара (Хг Д ,. ) .

Поскольку компоненты шума {nk} являются некоррелированными гауссовскими случайными величинами, они также статистически независимы. Как следствие, выходы корреляторов {rk}, определяемые переданным т-ы сигналом, - статистически независимые гауссовские случайные величины. Следовательно, условные плотности вероятности случайных величин [г, гг ...rN j = г равны

Поскольку и, и п2 - статистически независимые гауссовские случайные величины с нулевым средним и дисперсией \ N0 , то х - пг - щ - гауссовская случайная величина с нулевым средним и дисперсией N0 . Следовательно,

где {пш$ - взаимно независимые гауссовские случайные величины с нулевыми средними и дисперсией о* = j NQ. Оптимальный детектор выбирает решение в пользу сигнала, которому соответствует максимальное значение взаимной корреляции

где (nlc, nls, n2c, n2s)- взаимно некоррелированные и, следовательно, статистически независимые гауссовские случайные величины с нулевыми средними (смотри задачу 5.25). Значит, совместную ФПВ для г = [rlc rls r2c r2s\ можно выразить как произведение системных ФПВ. Следовательно,

Компоненты аддитивного шума \птс} и иш) - взаимно статистически независимые гауссовские величины с нулевым средним и одинаковой дисперсией а2 = \ N0. Таким образом, ФПВ для случайных величин на входе детектора равны

Покажите, что случайные величины U{,U2)U3,U4 - статистически независимые гауссовские

Максимум l(X;Y) по входной ФПВ получается, когда входы {х,} статистически независимые гауссовские случайные величины с нулевыми средними, т.е.

где {ntj}, i = ОД; у = 1, 2, ...,п-взаимно статистически независимые гауссовские случайные величины с нулевым средним и дисперсией ^N0. Следовательно, СМ, является гауссовской величиной со средним ^Псп и дисперсией \NU. С другой стороны, корреляционная метрика СМт, соответствующая кодовому слову с весом wm, является

точника (4—4) и заканчивая входом активного элемента (3—3). Независимые источники проявляют себя в полученной таким образом эквивалентной схеме только присутствием их внутренних сопротивлений, источником сигнала в петле становится зависимый генератор.

Пусть имеется двухполюсник, образованный произвольным соединением линейных R, С и L-элементов. Независимые источники внутри двухполюсника отсутствуют. На зажимах двухполюсника с помощью внешних цепей создано гармоническое напряжение с заданной частотой со. Ток i(t) через двухполюсник складывается из составляющих, число и характер которых зависят от внутренней конфигурации цепи. Однако всегда этот ток будет гармоническим колебанием с той же самой частотой. Это объясняется тем, что ток и напряжение в каждом элементе либо пропорциональны друг другу (^-элемент), либо связаны операциями дифференцирования или интегрирования (L и С-элементы).

При нумерации ветвей будем придерживаться последовательности соответствующей такой иерархии типов элементов: управляемые источники напряжения, независимые источники напряжения, емкостные, резистивные, индуктивные элементы, независимые источники тока, управляемые источники тока. Нумерацию будем начинать с ветвей, принадлежащих высшей ступени иерархии. Исчерпав их, будем продолжать нумерацию, перейдя к ветвям следующей ступени, пока не будут пронумерованы все ветви схемы. В пределах каждого типа элементов (ветвей) нумерация последовательная. ,

Условимся при нумерации ветвей придерживаться следующей их иерархии: управляемые источники напряжения, независимые источники напряжения, емкостные, резистивные, индуктивные элементы, независимые источники тока, управляемые источники тока. Нумерацию начнем с ветвей, принадлежащих высшей ступени иерархии. Исчерпав их, будем продолжать нумерацию, перейдя к ветвям следующей ступени иерархии и т. д., пока не будут пронумерованы все ветви схемы. Именно такой порядок был выбран при нумерации ветвей в графе на 1.8,6. Для этого графа построим следующую матрицу:

Метод переменных состояния. Вынесем за пределы анализируемой схемы ( 2.4,а) независимые источники (источники входных воздействий — источники питания и входных сигналов) и реактивные элементы. При этом будем считать, что анализируемая схема не содержит управляемых источников, а реактивные элементы схемы не образуют особенностей, т. е. контуров, составленных из емкостных элементов или емкостных элементов и источников напряжения, либо сечений, составленных из индуктивных элементов или индуктивных элементов и источников тока. Оставшаяся часть схемы после вынесения из нее указанных элементов (схема, заключенная в прямоугольник на 2.4,6) будет представлять собой линейную пассивную /?-цепь. Очевидно, токи (напряжения) в элементах ^-цепи не изменят своих значений, если индуктивные элементы заменить источниками тока, а емкостные —источниками напряжения ( 2.4,0). При этом источники, замещающие реактивные элементы, должны быть такими, чтобы их TOK:I и напряжения в каждый момент времени имели те же значения, что и токи и напряжения соответствующих элементов.

В рассмотренном случае контур, который был выбран для определения выходного напряжения, не включал в себя ветви, содержащие независимые источники тока и индуктивные элементы. Если это условие не выполняется и в выбранном контуре присутствуют независимые источники тока или индуктивные элементы, необходимо, пользуясь матрицей главных сечений F, выразить их по закону Кирхгофа для напряжений через напряжения ребер и затем произвести суммирование напряжений, входящих в контур. Пусть, например, в схеме на 1.8,а для определения выходного напряжения выбран контур между узлами 4—6 из одной ветви, содержащей источник тока z'9 и «вых^ — %• С помощью матрицы главных сечений F^ (2.2) выражаем напряжение этой ветви через напряжение ребер

Управляемые источники образуют самостоятельный тип элементов (и соответственно ветвей) цепи. Будем считать, что нумерация ветвей цепи производится в последовательности: управляемые источники напряжения (Uy), независимые источники напряжения, емкостные, резистивные, индуктивные элементы, независимые источники тока, управляемые источники тока (1У). При этом управляемые источники напряжения окажутся ребрами, управляемые источники тока — хордами графа цепи и матрица главных сечений F будет иметь следующую структуру:

приемом, который был ранее использован для получения структуры уравнений линейной цепи. Вынесем из анализируемой схемы независимые источники, реактивные элементы и нелинейные резистивные элементы ( 4.1,а). При этом оставшаяся часть схемы (заключенная на 4.1,а в прямоугольник) представляет собой линейную резистивную схему. Далее произведем эквивалентную замену нелинейных резисторов источниками напряжения или тока ( 4.1,6).

Представим нелинейный резистивный элемент схемой замещения, показанной на 9.1,6, и вынесем за пределы схемы все независимые источники и источники токов /2 и 13, входящие в схему замещения нелинейного резистивного элемента. Полученная таким образом схема дана на 9.2. Пусть выходной величиной в схеме является ток г'Вых. При таком представлении заключенная в прямоугольник часть схемы является пассивной линейной

Если из схемы на 9.2 убрать все независимые источники (сохранив в цепи лишь выходные сопротивления источников: нулевое выходное сопротивление источников напряжения и бесконечное выходное сопротивление источников тока) и источник тока is в схеме замещения нелинейного резистивного элемента, то образуется схема, приведенная на 9.3,6. Выходной ток в такой схеме

И, наконец, если из схемы на 9.2 исключить независимые источники и источник тока г'2, сохранив в схеме лишь источник