Неопределенных коэффициентов

Из (5.9) очевидно, что показатель экспоненты должен быть отрицательным, в противном случае концентрация вещества со временем будет неограниченно возрастать. Таким образом, концентрация

Процесс увеличения тока развивается лавинно и завершается насыщением транзисторов VT1 и VT2. В этом режиме увеличение тока /а сопровождается уменьшением почти до нуля коллекторного напряжения, что вызывает уменьшение до нуля тока утечки и обратного тока коллектора (/K = /k0) в формуле (6.1), и она продолжает иметь смысл, определяя участок характеристики в — г (см. 6.2), на котором тиристор обладает отрицательным дифференциальным сопротивлением. Вблизи точки г при сумме ai4-°C2, стремящейся к единице, анодный то согласно (6.2) также должен неограниченно возрастать, однако в самой точке г режимы условных транзисторов приближаются к границе режима насыщения, и формула (6.2) теряет физический смысл.

и в том случае, если пара сопряженных корней имеет ok = О, так как при этом устанавливаются колебания с неизменной амплитудой. Система неустойчива, если хотя бы один из корней имеет положительную вещественную часть ak > О, так как соответствующий член ep^i будет неограниченно возрастать. Отсюда следует, что система устойчива, если все полюсы передаточ-

При Т-*-оо основная частота Ш1 = 2л/Г становится бесконечно малой, поэтому ее следует обозначить dco; интервал между соседними гармоническими определяется этой бесконечно малой величиной. Иначе говоря, теперь от дискретного спектра мы переходим к сплошному. Частоту n-й гармонической, т. е. псоь будем обозначать просто как частоту со, т.е. ш — «\ при п-*-оо. При этом вместо (13-10) получим:

Устойчивые автоколебания могут быть только в нелинейной цепи. В линейной цепи с постоянными параметрами, содержащей источники только постоянного тока, возникающие колебания обязательно затухают, иначе они должны неограниченно возрастать, что, конечно, невозможно. В реальных генераторах именно нелинейность ограничивает амплитуду колебаний. Автоколебания более подробно рассматриваются в гл. 9.

Выражение для Нт может содержать только член с отрицательным значением а, так как в противном случае Нт будет неограниченно возрастать с возрастанием х, что невозможно.

Двухлопастное ветроколесо обеспечивает большую экономичность, чем трехлопастное, однако первое в ряде случаев подвержено значительным вибрационным нагрузкам, отсутствующим во втором случае. Центростремительную силу, действующую на лопасть, можно свести к минимуму, уменьшив ее массу. Для изготовления лопастей пригодны дерево, пластик и в особенности армированное стекловолокно, обладающее хорошими прочностными характеристиками. Стекловолокно выдерживает штормы, рабочие нагрузки и, кроме того, исключительно технологично. Ветродвигатели, используемые для привода водяных насосов, снабжены большим количеством лопастей и поэтому имеют больший КПД при малых скоростях ветра. Из (5.49) на первый взгляд следует, что максимальная мощность будет неограниченно возрастать с ростом скорости ветра. Однако это верно лишь теоретически, на практике же еще необходимо, чтобы КПД также имел максимальное значение, что выполняется при условии v—V/3. Для ветроко-леса с горизонтальной осью вращения, форма и размеры которого заданы, это условие выполняется лишь при одном значении скорости. Таким образом, в конструкции ветродвигателя заложено некоторое максимальное значение СКОрОСТИ Vmax, При КОТОрОМ ОН ДОЛЖСН

Практическое значение имеет в основном левая ветвь кривой на 3.1. На ней ордината а=0 разделяет два существенно различных поля скоростей, о которых необходимо сказать следующее. Если построить графики зависимостей энергии ev и импульса П от xt при фиксированном значении а в соответствии с формулами (3.32) и (3.33), то будет видно, что эти зависимости при 00 ev и П будут неограниченно возрастать аналогично тому, как это имеет место в потенциальном потоке, с тем только отличием, что в потенциальном потоке ev-*°° и П-*оопри *! -»-0, а в экстремальном потоке ev -*•» и П-»°о при х\ -*ff>0. Иначе говоря, при 0
Это уравнение удовлетворяется при xl=l. Физический смысл этого ясен. При х\ -И энергия в потоке должна неограниченно возрастать. Но корни уравнения (5.20) могут существовать и при .YI Ф 1 . Эта возможность иллюстрируется 5.11, где пока-

если и < 3,83, то решение уравнения (5.20) существует только при х\ =1. Если же а > 3,83, то будет один или несколько корней х^ < 1. При приближении к любому корню уравнения (5.20) радиуса свободной поверхности энергия в потоке будет неограниченно возрастать столько раз, сколько будет корней, что в противоположность такому же возрастанию энергии при xt = 1 лишено физического смысла. Это значит, что при a = 3,83 становится неверным допущение о цилиндричности течения.

Существование в тиристоре положительной обратной связи является первой причиной лавинообразного увеличения анодного тока /а. Второй причиной служит уменьшение напряжения на втором переходе и на самом тиристоре. Если после точки в постепенно увеличивать ток (используя, например, в качестве источника питания прибора регулируемый генератор тока), то после точки в будет наблюдаться уменьшение напряжения на коллекторном переходе и соответственно на всем тиристоре в целом. Это объясняется переходом условных транзисторов в активный режим, при котором каждый из них управляет коллекторным током другого: увеличение коллекторного тока транзистора VT1 приведет к увеличению базового тока транзистора VT2. Так как /К2 = 7^2/(1 — ос), увеличение тока 1б2 в результате усиления транзистором VT2 обусловливает увеличение тока /к2. Ток /к2, протекая через открытый эмиттерный переход транзистора VT1 к плюсу источника 2sa, задает базовый ток /61, который тоже увеличивается. Так как /к1 = /б1/ (1 — oti), то ток коллектора /к] в результате усиления транзисторами возрос в р!(32 раз [где {3= 1/(1 — а) — коэффициент усиления базового тока транзистора, включенного по схеме с ОЭ]. Процесс увеличения тока развивается лавинно и завершается насыщением транзисторов VT1 и VT2. В этом режиме увеличение тока /а сопровождается уменьшением почти до нуля коллекторного напряжения, что вызывает уменьшение до нуля тока утечки и обратного тока коллектора (/к = /ко) в формуле (6.1), и она продолжает иметь смысл, определяя участок характеристики в—г (см. 6.2), на котором тиристор обладает отрицательным дифференциальным сопротивлением. Вблизи точки г при сумме щ + а2, стремящейся к единице, анодный ток согласно выражению (6.2) также должен неограниченно возрастать, однако в самой точке г режимы условных транзисторов приближаются к границе режима насыщения и формула (6.2) теряет физический смысл.

Выражение под интегралом представляем в виде суммы простейших дробей, используя метод неопределенных коэффициентов :

где Л и б определяются методом неопределенных коэффициентов:

Определить, пользуясь методом неопределенных коэффициентов, постоянную составляющую и амплитуды первых двух гармоник тока.

Вынужденная составляющая реакции является частным решением неоднородного уравнения. Вид частного решения зависит от правой части уравнения, т. е. от вида, приложенного к цепи сигнала. В общем случае сигнала произвольной формы определение частного решения связано с большими трудностями. Для простых, но важных для теории цепей форм сигналов — постоянных, изменяющихся в виде целых степеней t, синусоидальных и экспоненциальных сигналов, а также их линейных комбинаций вид частного решения получается подобным виду правой части уравнения цепи. Процесс нахождения частного решения сводится к подстановке в уравнение принятой функции с неизвестными коэффициентами или параметрами, которые определяются из приравнивания левой и правой частей уравнения. В общем случае отыскание частных решений в ^-области по указанному способу неопределенных коэффициентов получается очень громоздким. Лишь в случае простейшего, постоянного сигнала частное решение вычисляется просто. При подстановке в уравнение вынужденной составляющей в виде постоянной величины, которая в данном случае, так же как и в случае периодических решений, называется установившейся составляющей, все производные обращаются в нуль, в левой и правой частях уравнений остаются постоянные величины. Из этих равенств определяются установившиеся составляющие. При этом начальные условия ис (0), iL (0) не влияют на величину установившейся реакции. В связи с этим при определении решений уравнений в этой главе принимается действие на цепь постоянных напряжений и токов. В гл. 6 будет показано,

Задача анализа установившегося синусоидального режима состоит в определении двух параметров: амплитуды и начальной фазы реакции. В принципе решение можно производить во временной области на основе метода неопределенных коэффициентов: в дифференциальное уравнение подставляются синусоидальные реакция и сигнал; амплитуда и начальная фаза определяются из условия приравнивания коэффициентов при синусах и косинусах обеих частей. Но такой расчет в ^-области связан с очень громоздкими выкладками, вызванными тем, что искомая начальная фаза входит под знаком тригонометрической функции.

Последнюю дробь разложим на простейшие дроби и определим Аъ Л2 и Л3 методом неопределенных коэффициентов

формул (Т.35) и (Т.36). Решение общим операционным методом, в особенности методом неопределенных коэффициентов, а также решение с применением интеграла Дюамеля в данном примере оказались более трудоемкими.

Задача 11.14. Решить задачу 11.13 методом неопределенных коэффициентов.

Задача 11.22. Решить задачу 11.21 при помощи интеграла Дюа-меля и разложением изображения на элементарные дроби при помощи неопределенных коэффициентов с последующим определением соответствующих оригиналов.

Применяем метод неопределенных коэффициентов. Последнюю дробь (III.35) представим в виде суммы двух дробей:

остальные коэффициенты хотя бы методом неопределенных коэффициентов, приравнивая справа и слева в числителях коэффициенты при одинаковых степенях р. Получаем а4 = 8, а3 = 2, G2 = 6, fli = l, a0=l. Таким образом,