Матричное уравнение

Здесь А! — квадратная подматрица порядка (q — 1) X (17 — 1), так как; она имеет q — 1 столбцов, соответствующих q — 1 ветвям дерева графа схемы, q — 1 строк, соответствующих q — 1 узлам. Подматрица-столбец \t также имеет q— 1 строк, соответствующих токам ветвей дерева. Соответствие числа столбцов подматрицы Ах числу отрок подматрицы ix позволяет записать матричное произведение А!^. Точно так же имеет смысл произведение A2f2, так как А2 име^т п столбцов, а 12 имеет п строк, соответственно равных числу связей в графе схемы.

контуров записываются в форме (3-4), так как она позволяет весьма просто проверить независимость системы уравнений и, кроме того, избежать ошибок при дальнейших преобразованиях. При записи уравнений фундаментальных контуров можно пользоваться следующей практически проверенной методикой (Л. 17]. Во-первых, делаем заготовку для произведения прямоугольной матри- -цы коэффициентов на матрицу-столбец, образованную параллельными переменными. Число строк матрицы коэффициентов равно числу хорд, т. е. числу фундаментальных контуров, а число столбцов — числу элементов графа системы. Во-вторых, заполним матрицу-столбец параллельными переменными в следующем порядке: заданные переменные ветвей, незаданные переменные ветвей, незаданные переменные хорд, заданные переменные хорд. В каждой из четырех указанных подматриц переменные располагаются в порядке возрастания их номеров. В-третьих, пронумеруем фундаментальные контуры римскими цифрами в соответствии с порядковыми номерами переменных хорд в матрице-столбце. Так, в рассматриваемом примере контур / замыкается хордой 2, кок-тур II — хордой 3 и т. д. В-четвертых, пронумеруем в матрице коэффициентов строки в порядке следования контуров, а столбцы — в порядке следования переменных в матрице-столбце. В-пятых, заполняем матрицу коэффициентов и, приравняв матричное произведение нулю, получим уравнения фундаментальных контуров в матричной форме:

Для получения уравнений системы нам осталось вычислить тройное матричное произведение в (3-33). Так как исследуемая система состоит из двухполюсников, то матрица коэффициентов в полюсных уравнениях (3-27) диагональная. Это позволяет сильно упростить вычисление тройного матричного произведения. Действительно, запишем последнее в виде

вующий коэффициент, записанный над столбцами матрицы в. Аналогично элементы (2, 2), (2, 3), (2, 4) и т. д. получают путем перемножения второй строки на самое себя, на третью, четвертую и т. д. строки и на соответствующие коэффициенты матрицы Z. Так как рассмотренное тройное матричное произведение дает симметричную матрицу, то нужно вычислять только элементы, расположенные на главной диагонали и выше. Уравнения для рассматриваемой системы в окончательном виде запишутся как

Во-первых, выберем отсечения так, чтобы в каждое из них входила только одна ветвь дерева ( 3-6,г). Во-вторых, обозначим отсечения в порядке -возрастания номеров -входящих в них ветвей (римские цифры на 3-6,г). В-третьих, сделаем заготовку для произведения прямоугольной матрицы коэффициентов на матрицу-столбец, число элементов которой равно числу элементов графа системы. Число строк матрицы коэффициентов равно числу отсечений, а число столбцов — числу элементов графа системы. В-четвертых, заполним матрицу-столбец последовательными переменными в следующем порядке: заданные переменные ветвей, незаданные переменные ветвей, незаданные переменные хорд, заданные переменные хорд. В каждой «з четырех указанных подматриц переменные располагаются в порядке возрастания их номеров. В-лятых, пронумеруем в матрице коэффициентов строки в порядке следования отсечений, а столбцы—в порядке следования элементов в матрице-столбце. В-шестых, заполнив матрицу коэффициентов и приравняв матричное произведение нулю, получим уравнения отсечений, записанные в матричной форме:

умноженная слева на тройное матричное произведение A WA t.

В уравнениях (3-48) тройное матричное произведение нельзя найти так, как это делалось в предыдущем примере, потому что система содержит четырехполюсную компоненту (двигатель), и матрица коэффициентов недиагональная.

Найдем тройное матричное произведение \ К,

Матрица коэффициентов полюсных уравнений (3-111) диагональная, поэтому можно просто вычислить тройное матричное произведение и записать уравнения системы в форме ветвей:

Наконец, определим тройное матричное произведение, равное матрице контурных сопротивлений:

Тогда тройное матричное произведение Г2ВГ* с учетом (2.11) можег оыть представлено в виде

каскадное соединение двух четырехполюсников (ЛBCD) и ZH. При каскадном соединении матрицы типа (ABCD) перемножаются, поэтому матричное уравнение, связывающее входные и выходные электрические величины, имеет вид

Заменим матричное уравнение системой уравнений Ух = AV'i + (AZa + S)/a,

Выполняя умножение матриц и заменяя матричное уравнение системой алгебраических уравнений, получим

и на ее основе запишем матричное уравнение системы

Анализ марковских цепей с помощью z-преобразования. Воспользуемся методом z-преобразования для анализа марковских цепей в переходном режиме. Как указывалось ранее, переходный режим системы описывается соотношением (2.4'). Решим это разностное векторно-матричное уравнение относительно Рт(п). Возьмем от левой и правой частей уравнения (2.4') z-преобразо-вание

4. Решим векторно-матричное уравнение

Отсюда можно найти распределение f°°(q), используя (2.6'), а также среднее значение длины очереди q с помощью (2.14) и другие вероятностно-временные характеристики системы. В случае буфера ограниченной емкости можно воспользоваться общим методом. Вначале с помощью (2.62) найти (2.62'), а затем решить вектор-но-матричное уравнение (2.5'") с матрицей (2.38). При этом необходимо помнить, что элементы матрицы определяются из (2.64).

где gm(z) — k-я производная по p~\=z от z-преобразования распределения g(tis) интервалов обслуживания. Решая затем вектор-но-матричное уравнение (2.5'"), находим компоненты вектора финальных вероятностей PT = \PQ, pi,... ,pq,... ,pN]. Вероятность потерь определяется так:

Матричное уравнение. Пусть дана система линейных уравнений

Данное матричное уравнение соответствует исходной системе, решенной относительно переменных

Такие уравнения, записанные для всех реаистивных элементов, могут быть объединены в одно матричное уравнение