Математической статистики

Все указанные типовые задачи распознавания состояний технологических объектов по определению суть задачи принятия решения в условиях неопределенности. В математической статистике детально разработаны методы и правила выбора решений на основе выборочного наблюдения, применимые и для распознавания состояний технологических объектов. Суть этих методов состоит в том, что, во-первых, на основе анализа наблюденных значений технологических факторов определяется соответствующая этим конкретным данным степень правдоподобия каждого из возможных решений, во-вторых, с учетом фактических и необходимых по условиям задачи степеней правдоподобия из множества возможных решений выбирается единственное, которое и принимается за истинное.

Случайными принято называть погрешности, неопределенные по знаку и величине, случайно изменяющиеся от измерения к измерению (одной и той же величины, одними и теми же измерительными средствами). Случайные погрешности принципиально неустранимы, но их влияние на результаты измерений можно участь, основываясь на теории вероятностей и математической статистике. Случайные погрешности могут вызываться самыми различными причинами: вариациями показаний измерительного прибора (обусловленными, например, собственными шумами измерительных усилителей), погрешностями квантования сигналов по уровню; погрешностью округления показаний аналогового измерительного прибора наблюдателем и т. д.

Вычисленная таким способом средняя величина в математической статистике носит название «взвешенной средней арифметической», — в данном случае взвешенной по энергии. Средняя взвешенная не зависит от частоты повторяемости изменений, поэтому можно написать:

Отклонение напряжения, зависящее от множества факторов случайного характера, относится к величинам, называемым в теории вероятностей случайными. В качестве показателя величины разброса случайной величины в теории вероятостей и математической статистике принято среднеквадратичное отклонение. Именно эта величина (или ее квадрат) может служить количественным критерием качества Напряжения.

При таком подсчете средняя величина в математической статистике называется средневзвешенной арифметической величиной. Если нагрузка электроприемника за период измерения изменяется, то следует произвести взвешивание по энергии для каждого электроприемника или их группы в соответствии с графиком нагрузки; тогда

В силу симметрии то же самое будет, если тр>и средних квадр этических отклонения отложить влево, таким образом, для нормального распределения случайной величины практически все ее значения в генеральной совокупности (с точностью до долей процента) укладываются на участке М[Х] = ±За. Это позволяет, зная среднее квадр этическое отклонение и математическое ожидание случайной величины, ориентировочно указать интервал ее практически возможных значений. Такой способ оценки диапазона возможных значений случайной величины известен в математической статистике под названием «правило трех сигм».

Чтобы дать представление о точности и надежности оценки числа дефектных изделий в генеральной совокупности D с помощью наблюденного значения дефектных изделий в выборке d, в математической статистике пользуются так называемыми доверительными границами, которые чаще называются достоверностями.

где п — объем выборки. В математической статистике аналогичная характеристика называется математическим ожиданием. Этот термин, хотя он имеет более сложный смысл и несколько иную формулу для вычислений, будем впоследствии также использовать;

Вероятностные характеристики параметров, заданные здесь априорно, должны определяться путем наблюдений, число которых обычно ограничено и которые содержат элементы случайности. Для уменьшения влияния случайных ошибок в математической статистике разработаны методы выравнивания статистических рядов с последующей их проверкой по критериям согласия с теоретическими распределениями.

При определении погрешностей необходимо производить достаточно большое число независимых измерений, а согласно математической статистике для большого числа независимых составляющих, без резко доминирующих, закон распределения приближается к нормальному (гауссовско-му):

Математическая трактовка, необходимая для количественной оценки показателей надежности, базируется на теории вероятности и математической статистике. Вероятность безотказной работы в течение заданного промежутка времени P(t) является убывающей функцией и обладает следующими свойствами:

Систематическая погрешность может быть выявлена и устранена с помощью введения соответствующей поправки. Оценку случайной погрешности можно произвести только на основе обработки ряда многократных наблюдений, пользуясь методами математической статистики и теории вероятностей.

Когда имеется одна достаточно четко выраженная цель, степень которой можно оценить на основе одного критерия, используются методы математического программирования. Если эта цель, а следовательно, и степень ее достижения описываются с привлечением методов теории вероятностей или математической статистики, то используется стохастическое программирование. Если степень достижения цели должна оцениваться на основе нескольких критериев, применяют аппарат теории полезности [35], с помощью которого проводится упорядочение критериев и определение важности каждого из них. Когда развитие событий определяется взаимодействием нескольких лиц или систем. из которых каждая преследует свои цели и применяет свои решения, используются методы теории игр.

Определение состояния технологического объекта может выполняться с различными целями и в соответствии с этими целями может быть связано с различной степенью детальности. Всевозможные частные задачи технологического мониторинга можно систематизировать в соответствии с диаграммой моделей и объектов теории вероятностей и математической статистики ( 5.1), выделив определенное небольшое число классов типовых задач.

Многомерность контролируемых параметров и возможность транспортирования их по технологической цепи описывается методами линейной алгебры. Ряд оптимизационных задач при описании явлений решаются на уровне матриц передачи, корреляционных матриц, вектор-признаков контролируемых параметров. Доказательство основных теоретических предпосылок проводится методами теории множеств, линейной алгебры, теории вероятностей и математической статистики. 388

где t — безразмерная дробь, которая определяется по таблицам математической статистики в зависимости от величины и знака эксцесса т [22].

Для изучения производственных погрешностей применяют статистический и аналитический методы. Статистический метод анализа основан на получении и обработке большого количества наблюдений с помощью основных правил математической статистики. Он позволяет определить суммарную технологическую погрешность, которая возникает в результате взаимодействия ряда факторов, но не дает возможности выявить причины ее возникновения. Аналитический метод основан на установлении функциональных зависимостей между производственными погрешностями и выходными параметрами точности.

Операции технического контроля могут быть расположены по времени между операциями изменения состояния предмета производства (промежуточные, или операции межоперационного контроля). Ряд операций технического контроля могут идти друг за другом и составлять процесс (возможно, типовой) технического контроля. Примером таких процессов может быть такой набор операций: 1) измерение значений параметров партии изделий; 2) обработка результатов измерения (например, методами математической статистики); 3) решение оптимизационных задач распределения брака (возможно, в реальном времени) в свете теории выбора решений.

4. Выбор вида представления исходных данных. На качество создаваемых моделей ТП с СМК существенно влияет вид представления исходных данных о ТП. Рядом государственных и отраслевых стандартов утверждены методики определения различного рода показателей ТП, которые могут быть использованы как исходные данные для проектирования СМК. Эти показатели, кар правило, статистические, обусловленные тем, что в настоящее время достаточно хорошо используются приложения теории вероятностей и математической статистики к различным разделам технологии. В то же время модели, оперирующие статистическими показателями, просты (например, в моделях, основанных на описании происходящих физических явлений) и в большинстве удовлетворяют потребности разработчиков. Следует отметить тот факт, что модели используют некоторые аппроксимации наблюдаемых параметров. При этом основываются на гипотезе о нормальном законе распределения контролируемых параметров и тем самым резко сужают класс явлений, описываемых предлагаемыми моделями. Использование полигауссовских распределений (гл. 3) позволяет получить более точные (хотя и более сложные) методы аппроксимации. При этом необходимо отметить, что сложность получаемых моделей не является препятствием при использовании современной электронно-вычислительной техники. По всей видимости эффект следует ожидать от моделей, учитывающих

Для сравнения надежности различных систем электропривода буровых лебедок необходимо дать количественную оценку надежности электрических машин и комплектных устройств управления. Мерой, посредством которой производится такая оценка, являются критерии надежности, представляющие собой количественные характеристики надежности. Так как процесс появления отказов оборудования по своей физической природе носит случайный характер, критерии надежности являются статистическими величинами, определяемыми на основе законов теории вероятностей и математической статистики.

При исследовании влияния климатических условий на надежность бурового электрооборудования методами математической статистики установлено, что самое сильное влияние на параметр потока отказов оказывает фактор влажности, затем фактор жесткости погоды (произведение температуры воздуха на квадрат скорости ветра) и атмосферных явлений соответственно. Уравнение множественной регрессии, связывающее параметр потока отказов с перечисленными факторами, для районов Западной Сибири имеет вид:

Первое направление заключается в улучшении технологического обеспечения производства на тех стадиях процесса изготовления, которые в явной форме влияют -на ьадежность изделия; второе—в вероятностной оценке влияния технологии на надежность изделий, получении соответствующих зависимостей на основе теории вероятностей, математической статистики, теории случайных функций и на принятии на их основе конкретных технологических решений.