Математическими ожиданиями

В данной книге рассматриваются методы, алгоритмы, программы анализа электронных схем, используемые при схемотехническом проектировании устройств или исследовании процессов в них. При анализе сложных устройств (для чего и привлекаются ЭВМ) математические выражения, описывающие процессы, оказываются весьма громоздкими. Кроме того, при построении алгоритмов анализа возникает необходимость записи этих выражений в форме, при которой они были бы пригодны для произвольно задаваемых схем определенного класса. Для удобства представления таких выражений, их компактности и лучшей обозримости в книге широко будет использоваться матричная форма записи математических выражений.

Краткое изложение теории (строки 630—900). В указанных строках предусмотрен вывод на экран для ознакомления математических выражений, описывающих переходные процессы в емкостной цепи (экспоненциальные законы изменений UC, UR и 1 от времени Т) при зарядке конденсатора, и дано пояснение входящих в выражения величин.

Основные задачи алгоритма отражают сущность обработки полезных информационных сообщений, для выполнения которых и предназначена конструируемая ИМС. Вспомогательные задачи алгоритма обычно отражают дополнительные преобразования сигналов, необходимые для повышения качества выполнения основных задач. Дополнительные задачи алгоритма выявляются в процессе проектирования ИМС. По своему характеру дополнительные задачи представляют собой вспомогательные задачи, сформулированные в результате корректировки технического задания. Корректировка может затрагивать не только алгоритм преобразования сигналов, но также входные и выходные параметры ИМС. Задачи алгоритма преобразования сигналов отражают комплекс правил и требований, предъявляемых к функционированию ИМС. Их можно формулировать тестуально, с помощью логических и математических выражений, графически и смешанным образом.

3. На основании определенных в п. 1 основных технических требований к устройству составляются математические выражения, характеризующие его действие. Они представляют собой условия срабатывания устройства и возврата его в исходное состояние, выраженные через функцию входных величин и времени. Для логической части устройства составляется алгоритм ее действия, записанный в виде математических выражений с применением алгебры логики [5.9].

6. Для проверки работоспособности устройства составляются математические выражения, характеризующие действие основных его узлов. В данном случае, в отличие от математических выражений по п. 3, должны быть учтены вопросы обеспечения точности действия устройства и его работоспособности во всем диапазоне входных величин. Например, для схем, использующих операционные усилители, необходимо, чтобы минимальные значения входных напряжений на грани срабатывания узла были с запасом (один-два порядка) больше напряжения смещения этих усилителей, а максимальные входные напряжения — с запасом меньше допустимых входных напряжений для данного типа усилителей [5.10—5.12].

Понятие размерности дает возможность контролировать правильность математических операций над величинами. На любой стадии выполнения этих операций левая и правая стороны равенства должны иметь одинаковые размерности. Путем проверки размерностей контролируют правильность математических выражений, их соответствие физическому смыслу.

Понятие размерности дает возможность контролировать правильность математических операций над величинами. На любой стадии выполнения этих операций левая и правая стороны равенства должны иметь одинаковые размерности. Путем проверки размерностей контролируют правильность математических выражений, их соответствие физическому смыслу.

Статическая устойчивость сложной электрической системы, как правило, изучается способами, имеющими единым обоснованием метод первого приближения Ляпунова (см. гл. V и IX). Однако практические приемы расчетов статической устойчивости электрических систем, особенно сложных, имеют разнообразные модификации, в первую очередь обусловленные многочисленными упрощающими допущениями. Эти допущения, вызванные практическими потребностями инженера, прежде всего касаются учета переходных процессов в цепях статоров машин, способов задания нагрузки (статическими характеристиками или постоянными сопротивлениями), предположений об изменениях частоты в системе и отражения этих изменений при определении параметров режима и т. д. Исследование статической устойчивости сложной электрической системы затрудняется громоздкостью тех математических выражений, с которыми приходится оперировать и которые в связи с этим не могут раскрыть физической стороны происходящих явлений и показать инженеру роль влияющих факторов. Многие задачи, преследующие практические и тем более учебные цели, могут быть сведены к рассмотрению системы, состоящей из двух эквивалентных машин, питающих общую нагрузку. Поэтому для оценки расчетных способов и установления влияющих факторов целесообразно воспользоваться указанной схемой системы.

Основные задачи алгоритма отражают сущность обработки полезных информационных сообщений, для выполнения которой и предназначена проектируемая ИМС. Вспомогательные задачи алгоритма обычно отражают дополнительные преобразования сигналов, которые необходимы для повышения качества выполнения основных задач. Дополнительные задачи алгоритма выявляются в процессе проектирования ИМС. По своему характеру дополнительные задачи представляют собой вспомогательные задачи, сформулированные в результате корректировки технического задания. Корректировка может затрагивать не только алгоритм преобразования сигналов, но также входные и выходные параметры ИМС. Задачи алгоритма преобразования сигналов отражают комплекс правил и требований, предъявляемых к ИМС. Их можно формулировать текстуально, с помощью системы логических и математических выражений, графически и смешанным образом.

7.1. Реализация процедур оценивания на основе явных математических выражений (о) и настраиваемых моделей {б)

выделялись четыре уровня: страны, района, узла, предприятий, производящих и потребляющих энергию. При управлении прогнозированием, планированием и функционированием на всех уровнях надо найти компромиссное решение между условиями, отраженными различными показателями, такими, например, как капиталовложения и текущие издержки производства. Эти показатели математически надо представить так, чтобы они обеспечивали компромиссное решение и оптимизацию главных показателей для работы всей системы в целом, причем для отдельных подсистем «оптимальности» может и не получиться. Обычно оптимизацию представляют как минимизацию или экстремизацию какой-то переменной. Это, в сущности, упрощение задачи. В действительности, существует некоторая многоэкстремальная функция нескольких переменных и поэтому отыскание некоторой точки, отвечающей минимуму одной переменной, есть, конечно, какое-то абстрактное представление и упрощение. Реально интерес представляют область, выделенная в простейшем случае поверхностью, и условия приближения к этой области, реализуемые с огромным количеством различных ограничений. Ограничения как бы рассекают оптимизационную область на отдельные подобласти, которые в большинстве случаев не могут быть определены и выделены на основе точных математических выражений. Они выявляются с помощью тех дополнительных факторов, которые могут в данных условиях оказывать решающее влияние. Но решение, сводящееся к нахождению оптимальной точки, имеет значение прежде всего тогда, когда рассматриваются первые этапы управления. Система экономит при этом топливо, хотя может быть расчеты и делаются «е вполне совершенно — не учитывают ряд влияющих факторов. Поэтому значение этих расчетов, даже если они приближенны, очень велико. Однако дальнейшие уточнения расчетов обычно дают гораздо меньший выигрыш.

Матрица L={L,-/} (i, /eHi) называется фундаментальной. Ее элементы LIJ (i, /e//i) являются условными математическими ожиданиями времени пребывания цепи в состоянии j(j^Hi), если исходным состоянием являлось i. Произведение

Каждая из технологических объектов управления (ТОУ) с позиций обеспечения качества описывается ее статистическими характеристиками: математическими ожиданиями Mxi, среднеквадратическими отклонениями a.xi. При решении динамических задач управления должны быть заданы корреляционные функции переменных или моментные характеристики более высоких уровней между управляемыми переменными xi(t) и возмущениями. Для технологических операций, кроме этого, задаются требуемые показатели качества (допустимые отклонения) 6*i, а также предельные значения среднеквадратических отклонений (o^J, a+j) для каждой операции, определяющие их технологические возможности:

6.23 (У). Докажите, что если X и У — независимые гауссовы случайные величины с математическими ожиданиями пгх и ту и дисперсиями <т^ и о^ соответственно, то случайная величина Z=aX*+bY, где а и b — константы, также обладает свойством нормальности, имея математическое ожидание mz=amx + bmy и дисперсию

4.19. Определить корреляционную функцию случайного процесса x(t) = ^(t)r\(t), где ^(t) и г(?) — стационарные случайные некоррелированные нормальные процессы с корреляционными функциями /?^(t) = af ехр(-ос2т2) и Лл(т) = а2/(1 +а2т2) и математическими ожиданиями т^ = тц = 0.

4.22. Определить спектральную плотность ИЛДю) процесса x(t) = ^(t)r\(t), где ^(?) и т(?) — независимые нормальные случайные процессы с известными математическими ожиданиями т^ и mn и корреляционными функциями Л^(т) = ст2ехр( — at т) ,и

Полагая отклонения Дд, обусловленными начальными (производственными) отклонениями параметров узлов и деталей, их следует рассматривать как случайные величины, характеризующиеся функциями распределения w(qiK), математическими ожиданиями m(qils) и дисперсиями D(qiH) (c/ia — значения параметров при наличии только производственной погрешности изготовления элементов).

Если же взять большое количество биномиальных распределений, то композиция также будет иметь распределение, очень близкое к нормальному, т. е. при боль-. шом количестве распределений любой природы композиция будет близкой к нормальному распределению. Более того, в результате -композиции большого количества (при п-*-оо) неодинаковых распределений независимых случайных величин с различными (но не очень сильно отличающимися друг от друга) дирперсиями и с различными математическими ожиданиями получается опять нормальное распределение. Это важное 'положение теории вероятностей называется центральной лредельной теоремой, которая определяет особую роль нормального распределения в теории вероятностей.

В первом приближении можно воспользоваться среднестатистическими значениями (математическими ожиданиями) числа возмущений за выбранный промежуток времени. Например, если математическое ожидание числа однофазных КЗ в течение года обозначить через п, а вероятность того, что при одном КЗ взаимная проводимость будет не больше некоторого значения Ь\, обозначить через р, то при условии неизменности р вероятность k непревышений выбранного значения Ь\ за т лет определится по формуле биноминального распределения

При оценке надежности срабатывания схем принимается во внимание, что при к. з. в фазах с ТТ (К131, K'Jc) в схеме неполной звезды, в отличие от неполного треугольника, два реле тока дублируют друг друга, повышая надежность; при К/4? и K'ifp дублирования нет, но действует разработанный в [Л. 60] принцип совмещения одинаковых функций. Этот принцип формулируется следующим образом: в условиях статической готовности к действию общий орган обеспечивает большую надежность выполнения некоторой функции при требованиях, исходящих от независимых источников, чем отдельные для каждого вида требований органы того же типа. Применительно к рассматриваемому случаю использование этого принципа показывает, что при Клв и К'вс схема неполной звезды имеет меньшую надежность. Таким образом, имеется ситуация, характеризуемая противоположным действием двух принципов — дублирования и совмещения одинаковых функций. Поэтому для выявления сравнительной надежности рассматриваемых схем [Л. 60] привлекаются данные по соотношению между математическими ожиданиями чисел К 3) и К.'2' на защищаемом участке, интенсивности требований к срабатыванию и потока профилактических контролей.

где k, m, Ту — случайные функции времени с математическими ожиданиями, величины которых выбираются человеком для получения оптимального режима слежения.

Как видно из выражений (9-14), нормальный закон распределения определяется в случае независимых координат четырьмя параметрами: математическими ожиданиями ах и ау, определяющими положение условного ЦЭН, и среднеквадратичными отклонениями ах, Оу или мерами точности hx, hy.